משפט דה מואבר
משפט דה-מואבר, הקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר (Abraham de Moivre), קובע שלכל מספר ממשי $ x $ ולכל מספר שלם $ n $ מתקיים
- $ z^{n}={\Big [}\cos(x)+i\sin(x){\Big ]}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx) $
כאשר: $ {\text{Re}}(z)=\cos(x) $ הרכיב הממשי במספר מרוכב $ z $ , $ {\text{Im}}(z)=i\sin(x) $ הרכיב המדומה במספר זה.
כלומר, חשיבות משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה; ובאופן מעשי מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה (או למצוא שורש שלהם, באופן דומה).
את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח באינדוקציה מן הזהות
- $ {\Big [}\cos(x)+i\sin(x){\Big ]}{\Big [}\cos(y)+i\sin(y){\Big ]}=\cos(x+y)+i\sin(x+y) $
השקולה לזהויות הטריגונומטריות
- $ {\begin{aligned}\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)&=\cos(x+y)\\\cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)&=\sin(x+y)\end{aligned}} $
לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים $ \cos(nx),\sin(nx) $ כפולינומים ב- $ \cos(x),\sin(x) $ בהתאמה.
כך למשל, $ \cos(5x)=16\cos(x)^{5}-20\cos(x)^{3}+5\cos(x) $ – ראו פולינומי צ'בישב.
אברהם דה-מואבר היה חבר קרוב של אייזק ניוטון. בשנת 1698 כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי $ (e^{xi})^{n}=e^{(nx)i} $ .
הוצאת שורש מרוכב
ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר $ n $ של מספר מרוכב כלשהו.
אם $ z $ מספר מרוכב אשר $ {\text{Im}}(z)\neq 0 $ , אזי ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה $ z=r{\Big [}\cos(x)+i\sin(x){\Big ]} $ , כאשר $ r>0\ ,\ x\in (0,2\pi ) $ .
המספר $ \omega =R{\Big [}\cos(y)+i\sin(y){\Big ]}\ ,\ R>0 $ הוא שורש מסדר $ n $ של $ z $ אם $ \omega ^{n}=z $ , כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר,
- $ R^{n}{\Big [}\cos(ny)+i\sin(ny){\Big ]}=r{\Big [}\cos(x)+i\sin(x){\Big ]} $
זה קורה בדיוק כאשר:
- $ R^{n}=r\ ,\ \cos(ny)+i\sin(ny)=\cos(x)+i\sin(x) $
כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר $ n $ והפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור $ 2\pi $ :
- $ \omega ={\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r{\Big [}\cos(x)+i\sin(x){\Big ]}}}={\sqrt[{n}]{r}}\left[\cos \left({\frac {x+2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2\pi k}{n}}\right)\right] $
כאשר $ k=0,1,\ldots ,n-1 $ , ואלו בדיוק $ n $ השורשים של $ z $ .
ראו גם
קישורים חיצוניים
