משפט דה מואבר

משפט דה-מואבר, הקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר (Abraham de Moivre), קובע שלכל מספר ממשי $x$ ולכל מספר שלם $n$ מתקיים

$z^{n}={\Big [}\cos(x)+i\sin(x){\Big ]}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)$

כאשר: ${\text{Re}}(z)=\cos(x)$ הרכיב הממשי במספר מרוכב $z$ , ${\text{Im}}(z)=i\sin(x)$ הרכיב המדומה במספר זה.

כלומר, חשיבות משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה; ובאופן מעשי מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה (או למצוא שורש שלהם, באופן דומה).

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח באינדוקציה מן הזהות

${\Big [}\cos(x)+i\sin(x){\Big ]}{\Big [}\cos(y)+i\sin(y){\Big ]}=\cos(x+y)+i\sin(x+y)$

השקולה לזהויות הטריגונומטריות

${\begin{aligned}\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)&=\cos(x+y)\\\cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)&=\sin(x+y)\end{aligned}}$

לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים $\cos(nx),\sin(nx)$ כפולינומים ב- $\cos(x),\sin(x)$ בהתאמה.

כך למשל, $\cos(5x)=16\cos(x)^{5}-20\cos(x)^{3}+5\cos(x)$ – ראו פולינומי צ'בישב.

אברהם דה-מואבר היה חבר קרוב של אייזק ניוטון. בשנת 1698 כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי $(e^{xi})^{n}=e^{(nx)i}$ .

הוצאת שורש מרוכב

ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר $n$ של מספר מרוכב כלשהו.

אם $z$ מספר מרוכב אשר ${\text{Im}}(z)\neq 0$ , אזי ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה $z=r{\Big [}\cos(x)+i\sin(x){\Big ]}$ , כאשר $r>0\ ,\ x\in (0,2\pi )$ .

המספר $\omega =R{\Big [}\cos(y)+i\sin(y){\Big ]}\ ,\ R>0$ הוא שורש מסדר $n$ של $z$ אם $\omega ^{n}=z$ , כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר,

$R^{n}{\Big [}\cos(ny)+i\sin(ny){\Big ]}=r{\Big [}\cos(x)+i\sin(x){\Big ]}$

זה קורה בדיוק כאשר:

$R^{n}=r\ ,\ \cos(ny)+i\sin(ny)=\cos(x)+i\sin(x)$

כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר $n$ והפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור $2\pi$ :

$\omega ={\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r{\Big [}\cos(x)+i\sin(x){\Big ]}}}={\sqrt[{n}]{r}}\left[\cos \left({\frac {x+2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2\pi k}{n}}\right)\right]$

כאשר $k=0,1,\ldots ,n-1$ , ואלו בדיוק $n$ השורשים של $z$ .

ראו גם

• נוסחת אוילר
• שורש יחידה

קישורים חיצוניים

• משפט דה-מואבר לזהויות הטריגונומטריות

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0