תת-חבורת פרטיני

בתורת החבורות, תת-חבורת פרטיני של חבורה נתונה שווה לחיתוך כל תת-החבורות המקסימליות של החבורה. תת-חבורת פרטיני של כל חבורה סופית היא נילפוטנטית. מקובל לסמן את תת-חבורת פרטיני של $G$ ב-$\Phi (G)$ או ב-$\operatorname {Fr} (G)$.

איברים לא-יוצרים

תת-חבורת פרטיני כוללת בדיוק את האיברים הלא-יוצרים של $G$ (איבר הוא לא-יוצר אם גריעתו מקבוצה היוצרת את החבורה מותירה קבוצה יוצרת), ובכך היא דומה לרדיקל ג'ייקובסון מתורת החוגים. בדומה ללמה של נקיאמה, אם $\Phi (G)$ נוצרת סופית אז $\Phi (G)H\neq G$ לכל תת-חבורה אמיתית $H$ של $G$.

$\Phi (G)=G$ רק אם אין לחבורה תת-חבורות מקסימליות (לא טריוויאליות). כש-$G$ אבלית, זה קורה אם ורק אם $G$ חליקה. בכל מקרה, כאשר $G$ אבלית, $\Phi (G)=\cap _{p}G^{p}$.

חבורות-p

תת-חבורת פרטיני של חבורת-p‏ $P$ היא תת-החבורה הנוצרת על ידי הקומוטטורים וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן, אם $P$ סופית, אז המנה $P/\Phi (P)$ היא מהצורה $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{d}$ עבור $d$ מתאים. במקרה זה, אפשר ליצור את החבורה על ידי $d$ איברים, אבל לא פחות. את מספר היחסים בהצגה לפי יוצרים ויחסים אפשר לקרוא מחבורת ההומולוגיה השנייה $H_{2}(P,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$: גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה, r, היא מספר היחסים המינימלי בכל הצגה של החבורה עם d יוצרים; וש-r יחסים מספיקים בקטגוריה הפרו-סופית. משערים שתמיד יש לחבורה הצגה עם $d$ יוצרים ו-$r$ יחסים.

נילפוטנטיות

אם $\Phi (G)$ חבורת-M (חבורה שיש לה סדרה נורמלית שבה כל המנות האינסופיות הן ציקליות; בפרט, אם היא סופית), אז היא נילפוטנטית. גם תת-חבורת פרטיני של כל חבורה ליניארית נוצרת סופית היא נילפוטנטית.

הכלת הקומוטטורים

לכל חבורה $G$, חיתוך המרכז עם תת-חבורת הקומוטטורים $G'$ מוכל ב-$\Phi (G)$. לעומת זאת, $G'\subseteq \Phi (G)$ אם ורק אם כל תת-החבורות המקסימליות של $G$ הן נורמליות. התנאי הזה מתקיים אם $G$ חבורה נילפוטנטית; גם להפך: אם $G$ היא חבורת-M והיא נילפוטנטית, אז $G'\subseteq \Phi (G)$.

קישורים חיצוניים

• תת-חבורת פרטיני, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32669587תת-חבורת פרטיני