הלמה של נקאימה
במתמטיקה, הלמה של נקאימה היא למה טכנית חשובה באלגברה ובגאומטריה אלגברית, המתייחסת למודולים נוצרים סופית מעל חוג $ R $.
לפי הלמה, $ J(R)\cdot M\neq M $ לכל מודול נוצר סופית ושונה מאפס, $ M $, כאשר אם $ J=J(R) $ הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, השווה, על-פי ההגדרה, לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים של $ R $. הטענה חשובה במיוחד כאשר $ R $ חוג מקומי (אז J הוא האידיאל המקסימלי שלו), אבל יש לה שימושים רבים אחרים.
מן הלמה נובע, למשל, שכאשר $ M $ נוצר סופית, $ \ J\cdot M+N\neq M $ לכל תת-מודול $ N<M $; כלומר, המכפלה $ J(R)\cdot M $ קטנה כל-כך, עד שלא ניתן להגיע ממנה ל-$ M $ על ידי הוספת תת-מודול, אלא אם הוא שווה ל-$ M $ כולו.
בשפה של אלומות קוהרנטיות ניתן לנסח את הלמה כך:
- תהי $ {\mathcal {F}} $ אלומה קוהרנטית. אז הנבט ב-$ x $, המסומן ב$ {\mathcal {F}}_{x} $, הוא 0 אם ורק אם קיימת סביבה $ U $ של $ x $ כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \mathcal{F}|_{U} = 0 .
בגרסתה הכללית הלמה קובעת כי לכל מודול נוצר סופית $ M $ מעל חוג $ R $ ולכל אידיאל $ I $ ב-$ R $, אם $ IM=M $ אז קיים $ a\in I $ שעבורו $ \left(1+a\right)M=0 $. כלומר, ניתן למצוא איבר מיוחד $ a\in I $ כך שלכל $ m\in M $ מתקיים $ am=m $.
הוכחה
נניח כי $ M $ הוא $ R $-מודול נוצר סופית השונה מ-$ 0 $. מהלמה של צורן (שהיא ישימה רק מפני ש-$ M $ נוצר סופית) נובע כי קיים תת-מודול $ M'\subset M $ מקסימלי (כלומר, $ M' $ אינו מוכל באף תת-מודול אמיתי של $ M $). מכך נובע כי $ M/M' $ הוא מודול פשוט, כלומר הוא אינו מכיל תת-מודולים לא-טריוויאליים, ולכן קיים אידיאל שמאלי מקסימלי $ m $ ב-$ R $ כך ש-$ M/M'\cong R/m $. אבל $ J(R)\cdot R/m\subset m\cdot R/m=0 $, ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): J(R)\cdot M/M' = 0 . מכאן ש-$ J(R)\cdot M\subseteq M'\neq M $.
לקריאה נוספת
- Atiyah, M.F. and Macdonald, I.G (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading, MA.
הלמה של נקאימה28189334Q1399751