שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים

בעוד שחלק מהאינטגרלים ניתן לחשב באמצעות שיטות אנליטיות הרי יש אינטגרלים אותם לא ניתן לחשב בצורה כזאת אלא רק עם אנליזה נומרית, כלומר התוצאה המתקבלת היא מספר מסוים.

להלן רשימה חלקית של שיטות לביצוע תהליך זה:

שימוש בהגדרת האינטגרל לפי רימן

לפי הגדרת האינטגרל של רימן מתקיים:

$$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sigma _{n}(f)=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(c_{i})\cdot (x_{i}-x_{i-1})$$

כאשר $c_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$ וההפרש בין נקודות סמוכות שואף לאפס כאשר $n$ שואף לאינסוף.

באנליזה נומרית לא ניתן אמנם להגיע לטור אינסופי אבל ניתן להשתמש בנוסחת הסכום על מנת להגיע לדיוק הנדרש. דבר זה נעשה על ידי שימוש בסכום: $\sum _{i=1}^{n}w_{i}\cdot f(c_{i})\cdot (x_{i}-x_{i-1})$ (כאשר $w_{i}$ הוא המשקל של הנקודה) כקירוב לאינטגרל. ניתן להוכיח כי בתנאים מסוימים (השונים במקצת בין השיטות אולם בעיקרם קשורים לרציפות ולאינטגרביליות של הפונקציה) הגדלת מספר הנקודות מביא לקירוב טוב יותר (מידת הקירוב המדויקת תלויה בשיטה).

את הנקודות ואת המשקלים קובעים על פי השיטה המדויקת, כאשר ישנו מספר רב של שיטות מסוג זה כמו שיטת הטרפז, המקרבת את השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה לאוסף של טרפזים (ראו הדוגמה להלן), שיטת סימפסון (המקרבת את גרף הפונקציה לאוסף של פרבולות), שיטת רומברג (שיטה העושה שימוש בשיטת הטרפז עם מרווחים הולכים וקטנים), שיטת גאוס (עושה שימוש במקדמים המחושבים על פי פולינומים אורתוגונליים). כמו כן השיטות מתחלקות לשיטות פתוחות (בלי התחשבות בנקודות הקצה) ולשיטות סגורות (המתחשבות בכל הנקודות).

שיטת הטרפז עושה שימוש במשקלות של $w_{i}={\tfrac {1}{2}}$ כאשר המרחקים קבועים בין הנקודות, כלומר:

$$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}f\left(a+{\tfrac {b-a}{n}}i\right)\right)$$

כאשר ניתן לשפר את הדיוק באמצעות הגדלת מספר הנקודות.

שיטת מונטה קרלו

שיטת מונטה קרלו היא שיטת חישוב סטטיסטית שניתן לתאר בקיצור כך: נצייר את צורת הגרף על משטח בעל גודל ידוע ונסמן עליו "פגיעות" באופן אקראי. באמצעות חישוב מספר הפגיעות בתוך התחום החסום על ידי הגרף חלקי מספר הפגיעות מחוץ לו ניתן לחשב את גודל אותו התחום. באמצעות מחשב ניתן לחשב כך תוצאות מדויקות באופן מפתיע.

שימוש באינטגרלים ידועים

ישנם מספר אינטגרלים ידועים הממומשים לרוב כפונקציות מיוחדות, הנפוצה בהן היא ההתפלגות הנורמלית בעזרתה ניתן לחשב אינטגרלים אחרים.

דוגמה:

$$\int \limits _{-2x}^{x}y^{2}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}dy={\sqrt {2\pi }}{\bigl (}\Phi (x)-\Phi (-2x){\bigr )}-e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}x+2e^{-2x^{2}}x$$

דבר זה מאפשר לחשב את האינטגרל תוך שימוש בפונקציה שלה יש קירובים רציונליים מוכרים.

ראו גם

• שיטות אינטגרציה
• שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים
• שיטות אנליטיות לחישוב אינטגרלים מסוימים