שבר דיאדי

שברים דיאדיים בקטע [0,1]

שבר דיאדי (או רציונלי דיאדי) הוא שבר שהמכנה שלו הוא חזקה של 2. 1/2, 3/2, ו-3/8 הם דוגמאות לשבריים דיאדיים, ואילו 1/3 אינו שבר דיאדי. גם $2^{0}=1$ הוא מכנה שנכלל בהגדרה זו, כלומר גם כל מספר שלם הוא רציונלי דיאדי.

לשברים דיאדיים נודעת חשיבות במדעי המחשב, משום שהם השברים היחידים ייצוג בינארי במספר סופי של ספרות. שברים דיאדיים משמשים גם במידות ומשקלות, במוזיקה ובראשית לימודי המתמטיקה. שברים דיאדיים יכולים לשמש כקירוב של כל מספר ממשי.

הסכום, ההפרש והמכפלה של כל שני שברים דיאדיים אף הם שברים דיאדיים. חלוקה של שבר דיאדי בשבר דיאדי אחר לא בהכרח תיתן שבר דיאדי (דוגמה: 5/2 : 3/2 = 5/3. המשמעות של תכונות אלה היא ששברים דיאדיים יוצרים חוג, שנהוג לסמנו $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]$.

לשברים דיאדיים מקום מרכזי ביצירתם של סולנואיד דיאדי , פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי, גלוני דובישי , חבורות תומפסון , מספרים סוריאליסטים ועוד.

שימושים

במדידה

משקלות של שברים דיאדיים של ליברה, משתי ליברות ועד 1/64 של ליברה

מערכות מסורתיות שונות של מידות ומשקלות מבוססות על הרעיון של חצייה מחזורית, שיוצרת סדרה של שברים דיאדיים. החלוקה המקובלת של גלון, לחצי גלון, קוורט (רבע גלון), פינט (שמינית גלון) ואונקיית נוזל (1/16 של פינט, שהם 1/128 של גלון) היא סדרה של שברים דיאדיים.

במחשוב

מחשבים מבוססים על בסיס בינארי, ולכן שברים דיאדיים ניתנים לחישוב ישיר ופשוט באמצעות המחשב. בפרט מספרים בנקודה צפה מוגדרים פעמים רבות כשלמים המוכפלים בחזקה (חיובית או שלילית) של 2. גם מספרים בנקודה קבועה מבוססים ברוב המקרים על חזקות של 2. שברים דיאדיים משמשים גם במודלים תאורטיים של מספרים חשיבים.

במוזיקה

במוזיקה המערבית נהוג לחלק את המקצב (משכי הצלילים) על בסיס המספר שתיים או שלוש. החלוקה לשתיים נפוצה יותר ברוב המכריע של הסגנונות. היא פשוטה יותר, ומופיעה להלן:

• שלם (1) - משכו ארבעה רבעים, או שני חצאים, כך שהוא ממלא תיבה נפוצה (של 4/4 - "ארבעה רבעים") שלמה.
• חצי (1/2) - חצי משלם, כלומר שני רבעים.
• רבע (1/4) - רבע משלם
• שמינית (1/8)
• חלק שש-עשרה (1/16)
• חלק שלושים-ושתיים (1/32)
• וכן הלאה.

\time 2/16 r <d c a fis d>-! \time 3/16 r <d c a fis d>8-! | r16 <d c a fis d>8-! | \time 2/8 <d c a fis>16-! <e c bes g>->-![ <cis b aes f>-! <c a fis ees>-!] } \new Staff \relative c { \set Staff.midiInstrument = #"violin" \clef bass \time 3/16 d,16-! <bes ees,>-! r\fermata | \time 2/16 <d,, d,>-! <bes ees,>-! | \time 3/16 d16-! <ees cis>8-! | r16 <ees cis>8-! | \time 2/8 d16\sf-! <ees cis>-!->[ <d c>-! <d c>-!] } >> } </score>

קטע מתוך "פולחן האביב" מאת איגור סטרווינסקי, שבו המקצב מצוין בשברים דיאדיים

הגדרה ואריתמטיקה

שבר דיאדי הוא מספר רציונלי המתקבל מחילוק של מספר שלם בחזקה של 2. שבר מצומצם $p/q$ הוא שבר דיאדי כאשר $q$ הוא חזקה של 2. הגדרה שקולה היא הקביעה ששבר דיאדי הוא מספר ממשי בעל ייצוג בינארי סופי.

חיבור, חיסור וכפל של שברים דיאדיים נותן שבר דיאדי, לפי הנוסחאות הבאות:

${\begin{aligned}{\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a+2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a-2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}\cdot {\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {ac}{2^{b+d}}}\end{aligned}}$

חלוקה של שבר דיאדי בשבר דיאדי אחר לא בהכרח תיתן שבר דיאדי. דוגמה: 1 ו-3 הם שברים דיאדיים, אך 1/3 אינו שבר דיאדי.

תכונות נוספות

קירוב של המספר האלגברי השורש הריבועי של 2 (${\sqrt {2}}\approx 1.4142$) באמצעות שברים דיאדיים מהצורה $1/2^{i}$ כאשר $i=0,1,2,\dots$. הגובה של החלק הוורוד בתרשים מייצג את גודל השגיאה.

בהתאם להגדרה של שבר דיאדי, כל מספר שלם וכל חצי שלם הוא שבר דיאדי.

לכל מספר ממשי ניתן להציג קירוב טוב כרצוננו באמצעות שברים דיאדיים. בפרט, למספר ממשי נתון $x$, המספר ${\textstyle \lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}}$, שבו $i$ הוא שלם כלשהו והסימן $\lfloor \dots \rfloor$ מייצג את פונקציית הערך השלם, נותן קירוב מלמטה ל-$x$ שבו השגיאה היא $1/2^{i}$, שאותה ניתן לעשות קטנה כרצוננו באמצעות בחירת $i$ גדול מספיק. את הקיום של קירוב זה ניתן לתאר בקביעה שקבוצת השברים הדיאדיים היא קבוצה צפופה בישר הממשי.

קבוצת השברים הדיאדיים זהה לקבוצת המספרים שלהם ייצוג בינארי סופי. לייצוג הבינארי של שבר דיאדי יש שתי צורות, סופית ואינסופית. את השבר 3/4, למשל, ניתן לייצג בצורות 0.11₂ = 0.10111...₂ (לתכונה דומה בייצוג עשרוני ראו הערך 0.999...). השברים הדיאדיים הם היחידים הניתנים לייצוג בינארי בשתי צורות.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שבר דיאדי34661547Q2281400