קריטריון ראות'-הורוביץ

קריטריון ליציבות ראוט-הורוביץ (Routh – Hurwitz) בתורת הבקרה הוא תנאי מתמטי הכרחי ומספיק ליציבות של מערכת בקרה ליניארית משתנה בזמן (LTI).

המתמטיקאי האנגלי אדוארד ג'ון ראוט בשנת 1876 הציע את "תנאי ראוט", אלגוריתם רקורסיבי יעיל שמאפשר לקבוע אם לכל השורשים של פולינום אופייני של מערכה ליניארית יש חלקים ממשיים שליליים - כלומר המערכת יציבה. המתמטיקאי הגרמני אדולף הורוביץ הציע באופן עצמאי בשנת 1895 לסדר את מקדמי הפולינום האופייני למטריצה ​​מרובעת, המכונה מטריצת הורביץ, והראה שהפולינום יציב אם ורק אם מטריצות משנה שלה חיוביות. שני התנאים שקולים, כאשר תנאי ראוט מספק דרך יעילה יותר לחשב את קבועי הורביץ מאשר לחשב אותם ישירות.

חשיבות הקריטריון היא שכאשר השורשים של הפולינום האופייני של מערכת ליניארית בעלי חלקים ממשיים שליליים הם מייצגים פתרונות יציבים וחסומים של המערכת. לכן התנאי מספק דרך לקבוע אם למשוואות התנועה של מערכת ליניארית יש פתרונות יציבים בלבד, מבלי לפתור את המערכת ישירות.

עם התפתחות המחשבים, ירד השימוש בחישוב של הקריטריון משום שניתן לפתור באופן נומרי את הפולינום ולחשב את שורשי הפולינום האופייני באופן ישיר.

עבור מערכות דיסקרטיות, ישנם קריטריוני יציבות נוספים כמו קריטריון השור-כהן, מבחן ג'רי ומבחן ביסטריז.

יישום

תנאיים הכרחיים (ולא מספיקים) ליציבות הם:

• כל מקדמי הפולינום יהיו חיוביים
• אין מקדם השווה לאפס - פולינום מלא.

דוגמה כללית

נניח מערכת עם פולינום אופייני מסדר n.

• $D(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}$

נגדיר טבלה עם n + 1 שורות באופן הבא: בשתי השורות הראשונות נציב את מקדמי הפולינום. לאחר מכן נחשב את שאר איברי הטבלה.

$\dots$	$a_{n-4}$	$a_{n-2}$	$a_{n}$
$\dots$	$a_{n-5}$	$a_{n-3}$	$a_{n-1}$
$\dots$	$b_{3}$	$b_{2}$	$b_{1}$
$\dots$	$c_{3}$	$c_{2}$	$c_{1}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$

כאשר האיבר $b_{i}$ and $c_{i}$ מחושבים באמצעות:

• $b_{i}={\frac {a_{n-1}\times {a_{n-2i}}-a_{n}\times {a_{n-(2i+1)}}}{a_{n-1}}}.$
• $c_{i}={\frac {b_{1}\times {a_{n-(2i+1)}}-a_{n-1}\times {b_{i+1}}}{b_{1}}}.$.

כמות החלפות הסימן בעמודה הראשונה מעידה על כמות קטבים האי שליליים במערכת.

דוגמה פרטית

נבחן את יציבות מערכת עם הפולינום האופייני:

• $0.75s^{3}-3s^{2}+1.5s+6=0$

ראשית, באופן מידי ניתן לראות שלא כל המקדמים חיוביים - תנאי הכרחי ליציבות.

כעת נממש את טבלת ראוט:

0	0	$1.5$	$0.75$
0	0	$6$	$-3$
0	0	0	$3={\frac {-3*1.5-0.75*6}{-3}}$
0	0	0	$6={\frac {3*6-0*(-3)}{3}}$

בעמודה הראשונה, שתי החלפות סימן (3- → 0.75, וגם 3 → 3-), שמעידות על שני קטבים אי שלילים במערכת ולכן המערכת לא יציבה.

ראו גם

• דיאגרמת נייקוויסט
• שיטת לוקוס השורשים

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

28829620קריטריון ראות'-הורוביץ