הפרדוקס של קנטור

הפרדוקס של קנטור הוא סתירה שנתגלתה בתורת הקבוצות הנאיבית. גילוי הסתירה מיוחס לאבי תורת הקבוצות עצמה, גאורג קנטור, שכנראה גילה אותה בין השנים 1895 ל-1899. פרדוקס זה, יחד עם פרדוקסים נוספים שנתגלו בתורת הקבוצות הנאיבית כגון הפרדוקס של ראסל והפרדוקס של בורלי-פורטי, הביאו לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית, שבה ניתן לתורת הקבוצות בסיס אקסיומטי מוצק, המונע הופעתן של סתירות אלו. הפרדוקס עוסק בקבוצת כל הקבוצות ומראה שקיומה מוביל לסתירה.

תיאור הפרדוקס

בתורת הקבוצות הנאיבית ניתן להגדיר את קבוצת כל הקבוצות, שכל קבוצה שהיא היא איבר שלה, ואותה נסמן $\ A$. לכל קבוצה ניתן להגדיר את קבוצת החזקה, שהיא קבוצת כל תת הקבוצות שלה, ולכן קיימת קבוצת החזקה של קבוצת כל הקבוצות אותה מסמנים ${\mathcal {P}}(A)$. לפי משפט קנטור מתקיים שעוצמתה של ${\mathcal {P}}(A)$ גדולה מעוצמתה של $\ A$, ובסימון המקובל: $\ |{\mathcal {P}}(A)|>|A|$. אולם איברי ${\mathcal {P}}(A)$, כאיבריה של כל קבוצת חזקה, הם קבוצות, ולכן כל איבריה שייכים ל-$\ A$, שהיא קבוצת כל הקבוצות, כלומר ${\mathcal {P}}(A)\subseteq A$ ולכן $|{\mathcal {P}}(A)|\leq |A|$ והגענו לסתירה.

ניתן לראות שאם ננסה לטעון שפונקציית הזהות מA לP(A) היא הפונקציה החחע"ל שאנחנו מחפשים, אז הקבוצה שלא נמצאת בתמונה שלה שבונים בהוכחת משפט קנטור, היא בדיוק הקבוצה הסתירתית מפרדוקס ראסל (קבוצת כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן).

פתרון הפרדוקס

קנטור הציע פתרון לפרדוקס בכך שהפריד את המושג אינסוף לשני מצבים: אינסוף מוחלט ואינסוף שאינו מוחלט. אינסוף שאינו מוחלט הוא אינסוף שניתן להתייחס אליו כעוצמה בלי שהדבר יוביל לסתירות הנובעות מתכונות ידועות של עוצמות. כך אָלֶף אֶפֶס ועוצמת הרצף שתיהן אינסוף שאינו מוחלט. לעומת זאת, האינסוף של קבוצת כל הקבוצות הוא אינסוף מוחלט ולא ניתן לייחס לו עוצמה ולהפעיל עליו את משפט קנטור ובכך נמנע הפרדוקס.

הבעיה בפתרונו של קנטור היא שהוא לא נותן קריטריון ברור להבדלה בין קבוצה של אינסוף מוחלט לקבוצות אינסופיות אחרות.

בתחילת המאה ה-20 הובן שהפרדוקס של קנטור ופרדוקסים נוספים נובעים מבעיה בסיסית בתורת הקבוצות הנאיבית, שהיא מתירה לאוספים "גדולים" מדי להיות קבוצות. אלו אותם אוספים שקנטור ייחס להם אינסוף מוחלט. במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית אוסף כל הקבוצות אינו קבוצה בעצמו ולכן לא ניתן לייחס לו קבוצת חזקה ולהפעיל עליו משפטים הקשורים בעוצמות והפרדוקס חדל מלהתקיים.

לקריאה נוספת

• ענת בילצקי, ‏פרדוקסים, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1996, פרק י - פרדוקסים מתמטיים