חבורות מתיו
בתורת החבורות, המשפחה של חבורות מתיו היא משפחה קטנה של חבורות סופיות, מהן פשוטות, המתאפיינות בפעולה רב-טרנזיטיבית. בהקשרים שונים, מונים מחמש ועד שמונה חבורות מתיו. לפי הגרסה המרחיבה, כוללת המשפחה את החבורות $ M_{9},M_{10},M_{11},M_{12} $ ו-$ M_{21},M_{22},M_{23},M_{24} $, שמהן $ M_{11},M_{12},M_{22},M_{23},M_{24} $ הן חבורות פשוטות ספורדיות - הראשונות שהתגלו במסגרת מיון החבורות הפשוטות הסופיות אחרי חבורות התמורות הזוגיות (גם $ M_{21} $ פשוטה, אלא שהיא איזומורפית לחבורת המטריצות $ \operatorname {PSL} _{3}(\mathbb {F} _{4}) $). אכן, את החבורות בנה אמיל לאונרד מת'יו (אנ'), 1835-1890, במאמרים שפרסם בשנים 1861–1873. הבניה נעשתה ריגורוזית ב-1937 על ידי ארנסט ויט.
בניית חבורות מתיו
החבורה $ M_{10} $ היא תת-חבורה מאינדקס 2 של $ PGL_{2}(\mathbb {F} _{9})\cdot \langle \phi \rangle $, כאשר $ \phi $ הוא אוטומורפיזם פרובניוס של השדה (שתי האחרות הן $ \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {F} _{9}) $ ו-$ \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{9})\cdot \langle {\phi }\rangle $), ולכן היא פועלת על הישר הפרויקטיבי $ \mathbb {F} _{9}\cup \{\infty \} $. פעולה זו היא פעולה 3-טרנזיטיבית חדה.
אם מוסיפים ל-$ M_{10} $ את התמורה $ (\omega \infty )(\lambda \mapsto \pi ^{2}\lambda +\pi \phi (\lambda )) $, כאשר $ \pi $ יוצר של השדה מסדר 9, המקיים $ \pi ^{2}+\pi =1 $, מתקבלת החבורה $ M_{11} $, שפעולתה על $ \mathbb {F} _{9}\cup \{\infty ,\omega \} $ היא 4-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר $ S(4,5,11) $, שהיא היחידה עם פרמטרים אלו.
כשמוסיפים לזה את התמורה $ (\omega \Omega )\circ \phi $, מתקבלת החבורה $ M_{12} $, שפעולתה על $ \mathbb {F} _{9}\cup \{\infty ,\omega ,\Omega \} $ היא 5-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר $ S(5,6,12) $, היחידה עם פרמטרים אלו.
החבורה $ PSL_{3}(\mathbb {F} _{4}) $ פועלת באופן טבעי על 16+4+1=21 הישרים הפרויקטיביים. הרחבה שלה הפועלת על 22 נקודות עם מייצב של נקודה השווה לחבורה הקודמת, נקראת $ M_{22} $. הפעולה של חבורה זו היא 3-טרנזיטיבית, ואינה חדה (המייצב של שלשת נקודות הוא מסדר 48). זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 בחבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר $ S(3,6,22) $. החבורה $ M_{22} $ מוכלת בחבורה $ M_{23} $ הפועלת באופן 4-טרנזיטיבי על 23 נקודות, כך שהמייצב של נקודה הוא $ M_{22} $ (ולכן המייצב של ארבע נקודות הוא מסדר 48); זוהי חבורת האוטומורפיזמים של $ S(4,7,23) $; ובסופו של דבר, חבורת האוטומורפיזמים $ M_{24} $ של המערכת $ S(5,8,24) $ פועלת על 24 הנקודות באופן 5-טרנזיטיבי, עם מייצב של נקודה השווה ל-$ \ M_{23} $.
קישורים חיצוניים
חבורות מתיו34802142Q934200