חבורות מתיו

בתורת החבורות, המשפחה של חבורות מתיו היא משפחה קטנה של חבורות סופיות, מהן פשוטות, המתאפיינות בפעולה רב-טרנזיטיבית. בהקשרים שונים, מונים מחמש ועד שמונה חבורות מתיו. לפי הגרסה המרחיבה, כוללת המשפחה את החבורות $M_{9},M_{10},M_{11},M_{12}$ ו- $M_{21},M_{22},M_{23},M_{24}$ , שמהן $M_{11},M_{12},M_{22},M_{23},M_{24}$ הן חבורות פשוטות ספורדיות - הראשונות שהתגלו במסגרת מיון החבורות הפשוטות הסופיות אחרי חבורות התמורות הזוגיות (גם $M_{21}$ פשוטה, אלא שהיא איזומורפית לחבורת המטריצות $\operatorname {PSL} _{3}(\mathbb {F} _{4})$ ). אכן, את החבורות בנה אמיל לאונרד מת'יו (אנ'), 1835-1890, במאמרים שפרסם בשנים 1861–1873. הבניה נעשתה ריגורוזית ב-1937 על ידי ארנסט ויט.

בניית חבורות מתיו

החבורה $M_{10}$ היא תת-חבורה מאינדקס 2 של $PGL_{2}(\mathbb {F} _{9})\cdot \langle \phi \rangle$ , כאשר $\phi$ הוא אוטומורפיזם פרובניוס של השדה (שתי האחרות הן $\operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {F} _{9})$ ו- $\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{9})\cdot \langle {\phi }\rangle$ ), ולכן היא פועלת על הישר הפרויקטיבי $\mathbb {F} _{9}\cup \{\infty \}$ . פעולה זו היא פעולה 3-טרנזיטיבית חדה.

אם מוסיפים ל- $M_{10}$ את התמורה $(\omega \infty )(\lambda \mapsto \pi ^{2}\lambda +\pi \phi (\lambda ))$ , כאשר $\pi$ יוצר של השדה מסדר 9, המקיים $\pi ^{2}+\pi =1$ , מתקבלת החבורה $M_{11}$ , שפעולתה על $\mathbb {F} _{9}\cup \{\infty ,\omega \}$ היא 4-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר $S(4,5,11)$ , שהיא היחידה עם פרמטרים אלו.

כשמוסיפים לזה את התמורה $(\omega \Omega )\circ \phi$ , מתקבלת החבורה $M_{12}$ , שפעולתה על $\mathbb {F} _{9}\cup \{\infty ,\omega ,\Omega \}$ היא 5-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר $S(5,6,12)$ , היחידה עם פרמטרים אלו.

החבורה $PSL_{3}(\mathbb {F} _{4})$ פועלת באופן טבעי על 16+4+1=21 הישרים הפרויקטיביים. הרחבה שלה הפועלת על 22 נקודות עם מייצב של נקודה השווה לחבורה הקודמת, נקראת $M_{22}$ . הפעולה של חבורה זו היא 3-טרנזיטיבית, ואינה חדה (המייצב של שלשת נקודות הוא מסדר 48). זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 בחבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר $S(3,6,22)$ . החבורה $M_{22}$ מוכלת בחבורה $M_{23}$ הפועלת באופן 4-טרנזיטיבי על 23 נקודות, כך שהמייצב של נקודה הוא $M_{22}$ (ולכן המייצב של ארבע נקודות הוא מסדר 48); זוהי חבורת האוטומורפיזמים של $S(4,7,23)$ ; ובסופו של דבר, חבורת האוטומורפיזמים $M_{24}$ של המערכת $S(5,8,24)$ פועלת על 24 הנקודות באופן 5-טרנזיטיבי, עם מייצב של נקודה השווה ל- $\ M_{23}$ .