בתורת החבורות, המשפחה של חבורות מתיו היא משפחה קטנה של חבורות סופיות, מהן פשוטות, המתאפיינות בפעולה רב-טרנזיטיבית. בהקשרים שונים, מונים מחמש ועד שמונה חבורות מתיו. לפי הגרסה המרחיבה, כוללת המשפחה את החבורות
ו-
, שמהן
הן חבורות פשוטות ספורדיות - הראשונות שהתגלו במסגרת מיון החבורות הפשוטות הסופיות אחרי חבורות התמורות הזוגיות (גם
פשוטה, אלא שהיא איזומורפית לחבורת המטריצות
). אכן, את החבורות בנה אמיל לאונרד מת'יו (אנ'), 1835-1890, במאמרים שפרסם בשנים 1861–1873. הבניה נעשתה ריגורוזית ב-1937 על ידי ארנסט ויט.
בניית חבורות מתיו
החבורה
היא תת-חבורה מאינדקס 2 של
, כאשר
הוא אוטומורפיזם פרובניוס של השדה (שתי האחרות הן
ו-
), ולכן היא פועלת על הישר הפרויקטיבי
. פעולה זו היא פעולה 3-טרנזיטיבית חדה.
אם מוסיפים ל-
את התמורה
, כאשר
יוצר של השדה מסדר 9, המקיים
, מתקבלת החבורה
, שפעולתה על
היא 4-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר
, שהיא היחידה עם פרמטרים אלו.
כשמוסיפים לזה את התמורה
, מתקבלת החבורה
, שפעולתה על
היא 5-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר
, היחידה עם פרמטרים אלו.
החבורה
פועלת באופן טבעי על 16+4+1=21 הישרים הפרויקטיביים. הרחבה שלה הפועלת על 22 נקודות עם מייצב של נקודה השווה לחבורה הקודמת, נקראת
. הפעולה של חבורה זו היא 3-טרנזיטיבית, ואינה חדה (המייצב של שלשת נקודות הוא מסדר 48). זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 בחבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר
. החבורה
מוכלת בחבורה
הפועלת באופן 4-טרנזיטיבי על 23 נקודות, כך שהמייצב של נקודה הוא
(ולכן המייצב של ארבע נקודות הוא מסדר 48); זוהי חבורת האוטומורפיזמים של
; ובסופו של דבר, חבורת האוטומורפיזמים
של המערכת
פועלת על 24 הנקודות באופן 5-טרנזיטיבי, עם מייצב של נקודה השווה ל-
.
קישורים חיצוניים
34802142חבורות מתיו