פעולה פרימיטיבית

בתורת החבורות, פעולה פרימיטיבית היא פעולה על קבוצה שבה אף חלוקה לא טריוויאלית אינה נשמרת. פעולה שאינה פרימיטיבית אפשר לפרק לחלקים - הפעולה על רכיבי החלוקה, והפעולה בתוכם - ולכן פעולות פרימיטיביות נחשבות קשות יותר לטיפול. בפעולה שאינה פרימיטיבית, מרכיבי הפעולה נקראים בלוקים.

לדוגמה, פעולת החבורה על עצמה על ידי כפל משמאל אינה פרימיטיבית (אלא אם החבורה ציקלית מסדר ראשוני), משום שהפעולה שומרת על החלוקה של החבורה לקוסטים של תת-חבורה. הפעולה של חבורה $G$ על הקוסטים $G/H$ היא פרימיטיבית אם ורק אם $H$ תת-חבורה מקסימלית.

מספר הפעולות הפרימיטיביות על קבוצות בגודל $n=2,3,4,...,20$ הוא 1,2,2,5,4,7,7,11,9,8,6,9,4,6,22,10,4,8,4, בהתאמה. רוברט קרמייקל שמיין את הפעולות האלה ב-1937 מציין שמ-22 הפעולות הפרימיטיביות מדרגה 16, כולן פרט לפעולת החבורה הסימטרית וחבורת התמורות הזוגיות הן תת-חבורות של החבורה האפינית על המרחב ה-4-ממדי מעל השדה הסופי $\mathbb {F} _{2}$.

כל פעולה 2-טרנזיטיבית היא פרימיטיבית, וכל פעולה פרימיטיבית היא טרנזיטיבית.

אם $G$ חבורת תמורות פרימיטיבית מדרגה $n$ שאינה מכילה את $A_{n}$, Wielandt ו-Praeger-Saxl הוכיחו ש-$|G|\leq 4^{n}$. את החסם הזה אפשר לשפר: אם החבורה פרימיטיבית ואינה 2-טרנזיטיבית אז הסדר אינו עולה על $e^{4{\sqrt {n}}\log ^{2}(n)}$, ועבור החבורות ה-2-טרנזיטיביות קיים קבוע $c$ כך ש- $|G|\leq e^{c\log ^{3}(n)}$ (L. Pyber). לפי משפט Wielandt, תת-החבורה הפרימיטיבית היחידה של חבורת התמורות הסופיות $S_{\infty }$ היא תת-החבורה של התמורות הזוגיות.

מקורות

• Roney-Dougal, Colva M. The primitive permutation groups of degree less than 2500, Journal of Algebra 292 (2005), no. 1, 154–183.
• The GAP Data Library "Primitive Permutation Groups".
• Carmichael, Robert D., Introduction to the Theory of Groups of Finite Order. Ginn, Boston, 1937. Reprinted by Dover Publications, New York, 1956.
• Rowland, Todd; Primitive Group Action. MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.
• Laszlo Babai, (Invent. math. 65, 473-484 (1982.

קישורים חיצוניים

• פעולה פרימיטיבית, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

29242415פעולה פרימיטיבית