פונקציה כוכבית

באנליזה מרוכבת, פונקציה כוכבית (אנגלית: Starlike function) היא פונקציה אוניוולנטית (כלומר, פונקציה הולומורפית וחד-חד-ערכית) בעיגול היחידה, אשר תמונתה היא תחום כוכבי ביחס לראשית הצירים. פונקציה הולומורפית קמורה (Convex function) (להבדיל מהמינוח פונקציה קמורה), היא פונקציה כנ"ל אשר תמונתה היא תחום קמור.

לפונקציות כוכביות וקמורות תכונות מעניינות בתורת פונקציות האוניוולנטיות. משפט אלכסנדר נותן תנאי הכרחי ומספיק להיות של פונקציה כוכבית.

הגדרה

תהי $f:\Omega \to \mathbb {C}$ פונקציה אוניוולנטית (כלומר, פונקציה הולומורפית וחד-חד-ערכית). נאמר כי $f$ היא

• פונקציה כוכבית (Starlike function) אם $f(\Omega )$ תחום כוכבי סביב ראשית הצירים.
• פונקציה הולומורפית קמורה (Convex function) אם $f(\Omega )$ תחום קמור.

נתעניין בעיקר בפונקציות כנ"ל כאשר $\Omega =D=\{z:|z|<1\}$ עיגול היחידה.

דוגמאות

• הפונקציה ${\frac {z+i}{z-i}}$ היא העתקה קונפורמית המעבירה את עיגול היחידה לחצי המישור העליון, ולכן היא קמורה.
• פונקציית קוב $k(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}$ היא כוכבית, שכן תמונתה היא $\mathbb {C} -(-\infty ,-{\frac {1}{4}})$ וזהו תחום כוכבי.

תכונות

ראשית, נציג תנאים מספיקים והכרחיים להיותה של פונקציה אוניוולנטית $f$ קמורה או כוכבית.

משפט: הפונקציה האוניוולנטית $f:{\overline {D}}\to f({\overline {D}})$ היא קמורה אם ורק אם מתקיים $\forall |z|=1:Re(1+{\frac {zf''(z)}{f'(z)}})\geq 0$ .

משפט: אם בנוסף $f(0)=0$, אז הפונקציה היא כוכבית אם ורק אם $\forall |z|=1:Re({\frac {zf'(z)}{f(z)}})\geq 0$ .

כעת, נראה את הקשר שבין פונקציה קמורה לפונקציה כוכבית:

משפט אלכסנדר (J.W Alexander, 1915): נניח כי $f:D\to f(D)$ אוניוולנטית. אזי היא הולומורפית קמורה אם ורק אם הפונקציה $zf'(z)$ כוכבית.

דוגמה

נפעיל את המשפט על פונקציית קוב, שהראינו שהיא כוכבית – עבור $K(z)={\frac {z}{1-z}}$ מתקיים $zK'(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=k(z)$, ולכן הפונקציה ${\frac {z}{1-z}}$ קמורה, ואכן, היא מעבירה את עיגול היחידה להזזה של חצי המישור העליון: $K(D)=\{w:Rew>-{\frac {1}{2}}\}$ .

המחלקות ST ו-CV

את אוסף הפונקציות הכוכביות/קמורות המנורמלות על מעגל היחידה נסמן ב-$ST$ וב-$CV$ בהתאמה.

לפי משפט אלכסנדר, יש התאמה 1:1 בין שתי המחלקות:

• לכל $f\in CV$ מתקיים $zf'(z)\in ST$ .
• לכל $F\in ST$ מתקיים $\int _{0}^{z}{{\frac {F(w)}{w}}dw}\in CV$ .

השערת המקדמים

משפט דה ברנז' טוען כי המקדמים $b_{n}$ בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית מקיימים $|b_{n}|\leq n$ .

כאשר עוד נחשב להשערה, שכונתה השערת המקדמים, הוא הוכח למקרים פרטיים רבים. ביניהם:

משפט (R. Nevanlinna, 1921): במחלקה $ST$ מתקיימת השערת המקדמים. יותר מכך – אם מתקיים שוויון עבור $n_{0}\geq 2$ כלשהו, הפונקציה היא סיבוב של פונקציית קוב – $e^{i\alpha }k(e^{-i\alpha }z)$ .

במחלקה $CV$ מתקיימת טענה חזקה הרבה יותר:

משפט (C. Lowner, 1921): במחלקה $CV$ מתקיים $\forall n:|b_{n}|\leq 1$ . במידה ומתקיים שוויון עבור $n_{0}\geq 2$ כלשהו, הפונקציה היא סיבוב של הפונקציה ${\frac {z}{1-z}}$.

למעשה, שני המשפטים שקולים – אפשר בקלות להוכיח את השני בעזרת הראשון (לפי ההתאמה לעיל). כדי להוכיח את הראשון בעזרת השני, יש להשתמש בהעתקות שוורץ-קריסטופל.

ראו גם

• קבוצה קמורה
• תחום כוכבי

לקריאה נוספת

• Goodman, A.W. (1983). Univalent functions. Univalent Functions. Vol. 1. Mariner Pub. Co.,pages 107-180
• CONVEX AND STARLIKE UNIVALENT FUNCTIONS, S. D. BERNARDI
• Star-like function, Encyclopedia of Mathematics