משפט הרבע של קוב

באנליזה מרוכבת, משפט הרבע של קוב (Koebe quarter theorem – על שם המתמטיקאי פאול קוב) קובע כי התמונה של מעגל היחידה תחת פונקציה אוניוולנטית $f$ מכילה כדור ברדיוס ${\frac {|f'(0)|}{4}}$ .

פונקציית קוב היא דוגמה לפונקציה הממקסמת את הטענה, ולכן לא ניתן לשפרה.

ניסוח

תהי $f:D\to \mathbb {C}$ פונקציה אוניוולנטית, כלומר פונקציה הולומורפית וחד־חד־ערכית, כאשר $D=\{z:|z|<1\}$ הוא מעגל היחידה. אזי התמונה $f(D)$ מכילה כדור ברדיוס ${\frac {|f'(0)|}{4}}$ סביב $f(0)$ .

הוכחה

על ידי תהליך נרמול ניתן להניח כי $a_{0}=0,a_{1}=1$ , כלומר $f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }{a_{n}z^{n}}$ . לכל $w\not \in f(D)$ נגדיר $h(z)={\frac {f(z)}{1-f(z)/w}}=z+(a_{2}+{\frac {1}{w}})z^{2}+\ldots$ ; היא גם אוניוולנטית ב־ $D$ . לפי משפט דה ברנז' על $f,h$ עבור $n=2$ , נקבל $|{\frac {1}{w}}|\leq |a_{2}|+|a_{2}+{\frac {1}{w}}|\leq 4$ , לכן $dist(w,0)=|w|\geq {\frac {1}{4}}$ .

פונקציית קוב

הגדרה ותכונות

פונקציית קוב היא הפונקציה ההולומורפית $k:D\to \mathbb {C} -(-\infty ,-{\frac {1}{4}})$ הנתונה על ידי $k(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{nz^{n}}={\frac {z}{(1-z)^{2}}}$ . זוהי פונקציה חשובה במיוחד, שכן היא מהווה דוגמה לטענות רבות. ראשית, היא ממקסמת את משפט הרבע של קוב – מתקיים $k(0)=0$ ו- $-{\frac {1}{4}}\not \in k(D)$ .

פונקציית קוב ממקסמת גם את משפט דה ברנז', הטוען כי המקדמים $b_{n}$ בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית מקיימים $|b_{n}|\leq n$ .

בנייה גאומטרית

את פונקציית קוב ניתן לבנות כהרכבת פונקציות באופן הבא.

נביט בפונקציה $u:D\to J=\{z:Rez>0\},u(z)={\frac {1+z}{1-z}}$ . זוהי העתקה קונפורמית. הפונקציה $u^{2}(z)$ מעבירה את $D$ לכל המישור המרוכב בלי הקרן $\{z:Rez<0\}$ . כעת, נבצע את תהליך הנרמול על $u^{2}(z)$ ונקבל את פונקציית קוב – $k(z)={\frac {1}{4}}(u^{2}(z)-1)={\frac {1}{4}}(({\frac {1+z}{1-z}})^{2}-1)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}$ .