משפט הרבע של קוב
באנליזה מרוכבת, משפט הרבע של קוב (Koebe quarter theorem – על שם המתמטיקאי פאול קוב) קובע כי התמונה של מעגל היחידה תחת פונקציה אוניוולנטית $ f $ מכילה כדור ברדיוס $ {\frac {|f'(0)|}{4}} $ .
פונקציית קוב היא דוגמה לפונקציה הממקסמת את הטענה, ולכן לא ניתן לשפרה.
ניסוח
תהי $ f:D\to \mathbb {C} $ פונקציה אוניוולנטית, כלומר פונקציה הולומורפית וחד־חד־ערכית, כאשר $ D=\{z:|z|<1\} $ הוא מעגל היחידה. אזי התמונה $ f(D) $ מכילה כדור ברדיוס $ {\frac {|f'(0)|}{4}} $ סביב $ f(0) $ .
הוכחה
על ידי תהליך נרמול ניתן להניח כי $ a_{0}=0,a_{1}=1 $ , כלומר $ f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }{a_{n}z^{n}} $ . לכל $ w\not \in f(D) $ נגדיר $ h(z)={\frac {f(z)}{1-f(z)/w}}=z+(a_{2}+{\frac {1}{w}})z^{2}+\ldots $ ; היא גם אוניוולנטית ב־$ D $ . לפי משפט דה ברנז' על $ f,h $ עבור $ n=2 $ , נקבל $ |{\frac {1}{w}}|\leq |a_{2}|+|a_{2}+{\frac {1}{w}}|\leq 4 $ , לכן $ dist(w,0)=|w|\geq {\frac {1}{4}} $ .
פונקציית קוב
הגדרה ותכונות
פונקציית קוב היא הפונקציה ההולומורפית $ k:D\to \mathbb {C} -(-\infty ,-{\frac {1}{4}}) $ הנתונה על ידי $ k(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{nz^{n}}={\frac {z}{(1-z)^{2}}} $ . זוהי פונקציה חשובה במיוחד, שכן היא מהווה דוגמה לטענות רבות. ראשית, היא ממקסמת את משפט הרבע של קוב – מתקיים $ k(0)=0 $ ו-$ -{\frac {1}{4}}\not \in k(D) $ .
פונקציית קוב ממקסמת גם את משפט דה ברנז', הטוען כי המקדמים $ b_{n} $ בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית מקיימים $ |b_{n}|\leq n $ .
בנייה גאומטרית
את פונקציית קוב ניתן לבנות כהרכבת פונקציות באופן הבא.
נביט בפונקציה $ u:D\to J=\{z:Rez>0\},u(z)={\frac {1+z}{1-z}} $ . זוהי העתקה קונפורמית. הפונקציה $ u^{2}(z) $ מעבירה את $ D $ לכל המישור המרוכב בלי הקרן $ \{z:Rez<0\} $ . כעת, נבצע את תהליך הנרמול על $ u^{2}(z) $ ונקבל את פונקציית קוב – $ k(z)={\frac {1}{4}}(u^{2}(z)-1)={\frac {1}{4}}(({\frac {1+z}{1-z}})^{2}-1)={\frac {z}{(1-z)^{2}}} $ .
במילים אחרות, פונקציית קוב נבנית מפונקציה קונפורמית בין מעגל היחידה למישור בלי הקרן השמאלית, עליה מפעילים את תהליך הנירמול.
ראו גם
