פונקציה אוניוולנטית

באנליזה מרוכבת, פונקציה אוניוולנטית (Univalent function, simple, schlicht) היא פונקציה הולומורפית חד-חד-ערכית. פונקציה מולטי-ולנטית היא פונקציה המקבלת כל ערך מספר סופי וחסום של פעמים.

התאוריה של פונקציות אוניוולנטיות היא רחבה ומסובכת. משפט דה ברנז', אחד המשפטים החשובים בדבר פונקציות אוניוולנטיות, קובע כי המקדמים $b_{n}$ בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית על עיגול היחידה מקיימים $|b_{n}|\leq n$ . המשפט היה פתוח עד שנת 1985, והוכחתו נחשבת להישג חשוב באנליזה מרוכבת. השערת גודמן על פונקציות מולטי-ולנטיות מכלילה את משפט דה-ברנז׳.

הגדרה והצורה הנורמלית

הגדרה

פונקציה מרוכבת $f:\Omega \to \mathbb {C}$ תקרא

• אוניוולנטית (Univalent function) אם היא הולומורפית וחד-חד-ערכית.
• מולטי-ולנטית (Multivalent function) אם היא הולומורפית והיא מקבלת כל ערך מספר סופי של פעמים. עבור $p$ המקסימלי נקרא לה p-ולנטית.

הצורה הנורמלית

בהינתן פונקציה אוניוולנטית $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}z^{n}}$ , ניתן להגיע לצורה נורמלית שלה: קודם נשים לב שהקובע לא משנה, ולכן נשמיט אותו. ניתן גם לחלק במקדם $b_{1}$ של $z$, ולכן להניח מלכתחילה $b_{0}=0,b_{1}=1$ , כלומר הפונקציה מהצורה $f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }{b_{n}z^{n}}$ .

רוב התאוריה עוסקת בפונקציות כנ"ל מעיגול היחידה, כלומר $\Omega =D=\{z:|z|<1\}$. את אוסף הפונקציות האוניוולנטית מעיגול היחידה ובעלות צורה נורמלית כנ"ל נסמן ב-$S$ .

בהינתן פונקציה $f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }{b_{n}z^{n}}\in S$ , ניתן להביט בפונקציה ${\hat {f}}:D^{c}\to \mathbb {C}$ הנתונה על ידי $z+\sum _{n=2}^{\infty }{b_{n}{\frac {1}{z^{n}}}}$ . מתקיים כי ${\frac {1}{\hat {f}}}$ אוניוולנטית ב-$D^{c}$ ולא מקבלת את אפס. היא נקראת פונקציה דואלית ל-$f$ . אוסף פונקציות המקיימות את שתי הדרישות האחרונות יסומן ב-$\Sigma _{0}$ . מובן שיש התאמה 1:1 בין $\Sigma _{0}$ לבין $S$ , הנתונה כנ"ל.

דוגמאות

• הפונקציה $(1+z)^{2}$ היא אוניוולנטית בעיגול היחידה, בעוד ש-$(1+z)^{3}$ איננה אוניוולנטית שם.
• פונקציית קוב הנתונה על ידי $f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{nz^{n}}={\frac {z}{(1-z)^{2}}}$ היו אוניוולנטית בעיגול היחידה. זוהי פונקציה חשוב מאד בתאוריה, והיא למעשה ה"מקסימלית" מבין הפונקציות האוניוולנטית, לפי משפט דה ברנז'.

אם עוברים לפונקציה ב-$\Sigma _{0}$, נקבל את הפונקציה הדואלית לפונקציית קוב – ${\hat {f}}(\eta )={\frac {1}{\eta }}+\eta -2$ .

• נניח $f(z)\in S$ , ולכל $|a|<1$ נגדיר $\phi (z)={\frac {z+a}{1+{\overline {a}}z}}$ , אז גם ${\frac {f(\phi (z))-f(a))}{f'(a)(1-|a|^{2})}}\in S$ .

פעולות בסיסיות

בהינתן פונקציה $f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }{b_{n}z^{n}}\in S$ , גם הפונקציות הבאות הן ב-$S$ :

• סיבוב (Rotation) - $\forall \alpha \in \mathbb {R} :e^{-i\alpha }f(e^{i\alpha }z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }{b_{n}e^{i(n-1)\alpha }z^{n}}$
• הצמדה ${\overline {f({\overline {z}})}}=z+\sum _{n=2}^{\infty }{{\overline {b_{n}}}z^{n}}$
• ${\sqrt[{k}]{f({z}^{k})}}$ (כאשר בוחרים ענף).

נוסחאות שטח

השטח של תחום המתקבל כתמונה של פונקציה אוניוולנטית מ-$S$ טומן בחובו נוסחאות ומשפטים רבים.

משפט אם $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}z^{n}}$ אוניוולנטית על $D_{r}=\{|z|<r\}$, השטח של ${\overline {f(D_{r})}}$ נתון על ידי $\sum _{n=1}^{\infty }{\pi n|b_{n}|^{2}r^{2n}}$. בפרט, כאשר $r=1$ אז $f\in S$ והשטח הוא $\sum _{n=1}^{\infty }{\pi n|b_{n}|^{2}}$ .

מסקנה – אם $f$ אוניוולנטית על טבעת מהצורה $A=\{r<|z|<R\}$, השטח של ${\overline {f(A)}}$ הוא $\sum _{n=1}^{\infty }{\pi n|b_{n}|^{2}(R^{2n}-r^{2n})}$ .

מסקנה – אם $f$ אוניוולנטית על $D_{r}^{c}=\{z:|z|>r\}$. אז השטח של $({\overline {f(D_{r}^{c})}}$ הוא $\pi (|b_{1}|r^{2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n|b_{n}|^{2}}{r^{2n}}})$. בפרט, נקבל $|b_{1}|r^{2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n|b_{n}|^{2}}{r^{2n}}}\geq 0$ .

כעת, אם משאיפים $r\to 1$ במסקנה, ניתן לקבל את משפט השטח:

משפט השטח (The Area Theorem, Gronwall, 1914): אם $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}z^{n}}\in \Sigma _{0}$ אז $\sum _{n=1}^{\infty }{|b_{n}|^{2}}\leq 1$. שוויון מתקיים אם ורק אם התמונה $f(D^{c})$ מכסה את כל המישור המרוכב, פרט לקבוצה ממידה אפס.

טענות על המקדמים

אחד העניינים המרכזיים בתאוריה של פונקציות אוניוולנטיות הוא עניין המקדמים. לאורך כל המאה ה-20 נוסחו הרבה טענות על המקדמים, חלקן תחת הנחות נוספות על הפונקציות. הטענה המרכזית היא משפט דה ברנז', שהיה ידוע עד שנת 1985 בתור השערת ביברבך או השערת המקדמים, הטוען כי $|b_{n}|\leq n$ . הוכחת המשפט בשנת 1985 על ידי לואי דה-ברנז' היוותה נקודת ציון חשובה. השערת גודמן על פונקציות מולטי-ולנטיות מכלילה את משפט דה-ברנז׳.

לטענות חלקיות, שקולות והכללות ראו בספרו של גודמן בקריאה נוספת.

ראו גם

• משפט דה ברנז'
• השערת גודמן
• משפט הרבע של קוב

לקריאה נוספת

• Goodman, A.W. (1983). Univalent functions. Univalent Functions. Vol. 1. Mariner Pub. Co.
• Goodman, A.W. (1983). Univalent functions. Univalent Functions. Vol. 2. Mariner Pub. Co.
• AN INVITATION TO THE STUDY OF UNIVALENT AND MULTIVALENT FUNCTIONS, A.W. GOODMAN