עקומת השטן

עקומת השטן עם הפרמטרים $a={\tfrac {1}{\sqrt {10}}},b=3a$

עקומת השטן (או עקומת קרמר) היא עקומה שטוחה אשר נלמדה לראשונה על ידי המתמטיקאי השווייצרי גבריאל קרמר ב-1750 ואחר-כך ב-1810 על ידי המתמטיקאי הצרפתי סילבסטר-פרנסואה לקרואה (Sylvestre-François Lacroix). מקור שמה הוא באביזר להטוטנות בשם דיאבולו אשר צורתו מזכירה את חלקה הסגור של העקומה. הצעצוע היה פופולרי בסוף המאה ה-18 ובאיטלקית פירוש שמו הוא 'שטן'.

משוואות

עקומת השטן עם $a\in [0,1],b=1$ . צבע העקומה נע מכחול לאדום

המשוואה למערכת צירים קוטבית היא:

${\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}+{\frac {a^{2}}{\cos(2t)}}\\\rho (t)&={\frac {{\bigl (}a\sin(t){\bigr )}^{2}-{\bigl (}b\cos(t){\bigr )}^{2}}{\sin(t)^{2}-\cos(t)^{2}}}\end{aligned}}$

במערכת צירים קרטזית ניתנת העקומה כפונקציה סתומה עם משוואה ממעלה רביעית:

$y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})$

צורה אחרת שלה תהיה:

$x^{4}-y^{4}-(a^{2}+b^{2})x^{2}-(a^{2}-b^{2})y^{2}=0$

חקירת העקומה

עקומת השטן עם הפרמטרים $a=1$ ו-$b$ בשלושה ערכים: 0.98 בשחור, 0.70 בחום ו-0.50 באדום

$x,y$ השונים מופיעים בתבנית ריבועית. העקומה סימטרית לאורך צירי $x,y$ ולכן גם יחסית לראשית הצירים.

העקומה מתוארת על ידי שני פרמטרים חופשיים $a,b$ . ניתן לצמצם באופן משמעותי את מספר הצירופים ביניהם בלי לאבד ממגוון הצורות הנראות בגרף. כיוון שהפרמטרים מופיעים רק בצורתם הריבועית, ניתן להצטמצם לבדיקת המקרים בהם $a,b$ הם מספרים חיוביים. הצורה נקבעת על ידי היחס בין שני הפרמטרים וגדלה ביחס לריבועיהם מבלי שצורת העקומה תשתנה. לכן ניתן לבחור $a$ קבוע ו- $b\in [0,1]$ .

ניתוח שלוש העקומות המופיעות בדוגמה שמשמאל:
לערכים $a=1,b=1$ מורכבת העקומה ממעגל ושני ישרים מצטלבים (בגרף הקודם). החל מ-$b<1$ נוצר הדיאבולו המרכזי. הדיאבולו מצטמצם ככל ש-$b$ מתרחק מהערך הגבולי 1. בנוסף קיימים שני מקטעים שהם תמיד אסימפטוטיים בזווית 45° עם מערכת הצירים.

דוגמה נוספת

דוגמה נוספת

המשוואה למערכת צירים קרטזית:

$y^{4}-x^{4}-96a^{2}y^{2}+100a^{2}x^{2}=0$

המשוואה למערכת צירים קוטבית:

$\rho ^{2}=a^{2}\left(90+4{\frac {\cos(\omega )^{2}}{\cos(2\omega )}}\right)$

האסימפטוטות מופיעות באדום וכיוונן $\omega =\pm {\frac {\pi }{4}}$ אינו תלוי ב-$a$ .

ראו גם

• פונקציית קנטור או מדרגות השטן
• למניסקטה

קישורים חיצוניים

• עקומת השטן, באתר MathWorld (באנגלית)
• עקומת השטן באתר MacTutor (באנגלית)