עקומת אטוצ'ירפ

בפיזיקה של אטו-שניות, עקומת האטוצ'ירפ (attochirp curve) היא דרך גרפית להציג אילו הרמוניות גבוהות ייפלטו כתלות בעוצמה הרגעית של השדה החשמלי המופעל על המדיה הלא ליניארית.

רקע

יצירת הרמוניות גבוהות היא תהליך יסודי באופטיקה לא ליניארית הניתן לתיאור באמצעות מודל שלושת השלבים שפיתח פול קורקם. לפי מודל זה, אלקטרון קשור המופעל עליו שדה חשמלי חזק ובעל תדירות נמוכה, ינוע על פי הדינמיקה הבאה:

1. יינון במנגנון מנהור
2. פרופגציה ברצף הקלאסי
3. רקומבינציה (התנגשות)

על מנת לתאר את המסלול הקלאסי שעובר האלקטרון, ניתן לבצע את קירוב השדה החזק (Strong Field Approximation; SFA), בו מניחים שהשדה החשמלי החיצוני מכתיב בצורה בלעדית את הדינמיקה האלקטרונית, והכוח הקולומבי המופעל על ידי הפוטנציאל האטומי איננו משפיע כלל על התנועה. מאחר שמנהור הוא מנגנון אסור-קלאסית, ניתן לתאר את תנועת האלקטרון החל מהיציאה מהמחסום ועד התנגשותו ביון (כלומר, שלבים 2 ו-3 לעיל). תנועה זו היא קלאסית לכל צורך מעשי, ועל כן ניתן לחזותה באמצעות אינטגרציה של החוק השני של ניוטון בנוכחות שדה חשמלי:

${\vec {F}}=m{\ddot {\vec {r}}}=q{\vec {E}}(t)$

כאשר $m$ היא מסת האלקטרון, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} מטען האלקטרון, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec E(t)} הוא השדה החשמלי, התלוי בזמן בלבד (את התלות במקום ניתן להזניח שכן הדיפול המתפתח באלקטרון זניח לאור גודלו). בהינתן שדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec E(t)} כלשהו, נרצה לקבל את משוואת התנועה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec r(t)} עבור האלקטרון. לשם כך, יש לבצע אינטגרציה בזמן שתי פעמים עוקבות, כאשר גבולות האינטגרציה הם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_{i}} (רגע היציאה מהמחסום, הוא רגע היינון), ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} כללי כלשהו. היה והשדה מחזורי, ניתן לסרוק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_{i}} שונים הנעים בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} לבין $T$, זמן המחזור האופייני של השדה.

משוואת התנועה בצורתה הכללית ביותר, תהיה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec r(t)=\frac {q}{m}[\vec r_{0}+\vec v_{0}(t-t_{i})+\int_{t_{i}} ^{t} \vec E(t')dt']}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec r_{0}} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec v_{0}} הם המיקום והמהירות ההתחלתית של האלקטרון, בהתאמה. פעמים רבות, נהוג להניח כי המיקום ההתחלתי של האלקטרון הוא הראשית, וכי המהירות ההתחלתית המוקנית לו בעת היציאה מהמחסום, היא אפסית. ביחידות אטומיות, מתקיים עבור אלקטרון כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {q} {m}=-1} .

בהינתן משוואת התנועה, ניתן לשאול מה יהיה רגע הרקומבינציה, אשר מסומן לרוב כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_{r}} . זאת, בהנחה שבכלל ישנה רקומבינציה. התשובה אמורה להתקבל מתוך הדרישה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec r(t_{r})=0}

לאחר קבלת המיפוי בין אוסף הרגעים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_{i}} לאוסף הרגעים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_{r}} השאלה המתבקשת הבאה היא לגבי אנרגיית הרקומבינציה. זו, תחושב מיידית מתוך משוואת התנועה, שכן האנרגיה הקינטית בזמן ההתנגשות היא תבנית ריבועית של המהירות בזמן ההתנגשות, וזו הרי ידועה מעצם תהליך הפתרון. אנרגיות הרקומבינציה הללו ניתנות לפרשנות כהרמוניות גבוהות.

שדה ליניארי

שדה ליניארי הוא השדה היחיד שבו לכל זמן יינון מתקבל זמן רקומבינציה, כך שהמיפוי בין השניים הוא חד-חד ערכי ועל. כלומר, זהו השדה החשמלי היעיל ביותר ביצירת הרמוניות גבוהות. כמו כן, מתברר כי שדה זה גם מניב את תדר הקטעון הגבוה ביותר בהשוואה לכל שדה חשמלי אחר.

נרצה לפתור את המשוואה הבאה (לשם פשטות, אכן נניח כי האלקטרון מתחיל תנועתו בראשית ובמנוחה, וכי השדה הוא חד-ממדי):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x(t)=\frac {q}{m} \int_{t_{i}} ^{t} E_{0} \cos(\omega t)dt'}

לאחר אינטגרציה אחת נקבל:

${\dot {x}}(t)={\frac {qE_{0}}{m\omega }}[\sin(\omega t)-\sin(\omega t_{i})]$

ולאחר אינטגרציה נוספת:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x(t)=\frac {qE_{0}}{m\omega^2 }[\cos (\omega t_{i})-\cos(\omega t)-\omega(t-t_{i})\sin(\omega t_{i})]}

עבור כל זמן יינון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_{i}} , נקבל מסלול מסוים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x(t)} . בפרט, נשווה לאפס ונקבל, כי לכל זמן יינון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_{i}} , ישנו זמן רקומבינציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_{r}} .

מתברר כי ישנו זמן עבורו מתקבלת אנרגיית רקומבינציה מקסימלית (תדר קטעון), השווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3.17U_{p}} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_{p}} היא האנרגיה הפונדרומוטיבית של השדה. עד היום, לא נמצא שדה חשמלי שמאפשר קבלה של תדר קטעון גבוה מזה של שדה ליניארי.

שדה מעגלי

ברמה הקוונטית, שדה מעגלי איננו מאפשר קבלת הרמוניות גבוהות מטעמי שימור תנע זוויתי כולל. הדבר מקבל ביטוי גם בפתרון קלאסי של משוואות התנועה: אינטגרציה של החוק השני של ניוטון איננה מניבה ולו מסלול אלקטרוני אחד אשר נוטה להתנגש בראשית.

שיטות אינטגרציה

שיטת רונגה-קוטה

בשיטה זו מפרידים את החוק השני של ניוטון לשתי משוואות: משוואה אחת שבה מוגדרת המהירות כנגזרת ראשונה של המיקום, ומשוואה שנייה שבה מוגדרת התאוצה כנגזרת ראשונה של המהירות. המשוואות ניתנות להתרה על ידי שימוש בצעד ביניים, כמפורט בערך שיטת רונגה-קוטה.

אינטגרציה נומרית מיידית (סכימה)

אם צעד הזמן הנבחר להגדרת וקטור הזמן הכולל בו מתבצעת האינטגרציה הוא קטן דיו, מובטח כי סכימה נומרית מצטברת של וקטור השדה (במאטלאב, באמצעות הפקודה "cumsum") וכפל בצעד הזמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt} , אמורה לאפשר קבלתו של המסלול בצורה מדויקת.

אינטגרציה אנליטית

עבור שדה פשוט מספיק, ניתן לבצע את האינטגרציה בזמן על ידי פתרון אנליטי של החוק השני של ניוטון. לרוב, האינטגרציה האנליטית משמשת לצורך אישוש הפתרון הנומרי ובדיקת התכנסותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

31832983עקומת אטוצ'ירפ