סטטיסטי הסדר

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

פונקציות הצפיפות של סטטיסטי הסדר עבור מדגם בגודל n = 5 מהתפלגות מעריכית עם פרמטר $\lambda =1$

בסטטיסטיקה, סטטיסטי הסדר ה - $k$ של מדגם מקרי שווה לערך ה-$k$ בגודלו של המדגם. סטטיסטים הממבוססים על דרגות ועל סטטיסטי הסדר הם בין הכלים הבסיסיים ביותר בסטטיסטיקה א-פרמטרית.

דוגמאות חשובות לסטטיסטי סדר ולסטטיסטים המבוססים עליהם הם המינימום והמקסימום של המדגם, החציון ורבעונים אחרים.

סימונים ודוגמאות

לדוגמה, נניח שנתון לנו מדגם אקראי עם ארבעה ערכים

$8,3,9,6$

סטטיסטי הסדר הם

$x_{(1)}=3,\ \ x_{(2)}=6,\ \ x_{(3)}=8,\ \ x_{(4)}=9\,$

כאשר ${\textstyle X_{(i)}}$ מסמן את סטטיסטי הסדר ה-i של המדגם.

סטטיסטי הסדר הראשון (או סטטיסטי הסדר הקטן) הוא המינימום של המדגם,

$X_{(1)}=\min\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}$

כאשר, בהתאם למוסכמות, אנחנו מסמנים משתנים מקריים באותיות גדולות ותוצאות נתונות של המדגם באותיות קטנות.

באופן דומה, עבור מדגם בגודל $n$, סטטיסטי הסדר ה-$n$-י (או סטטיסטי הסדר הגדול ביותר) הוא המקסימום של המדגם,

$X_{(n)}=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}.$

הטווח של המדגם הוא ההפרש בין המקסימום למינימום. הטווח הוא פונקציה של סטטיסטי הסדר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\rm Range}\{\,X_1,\ldots,X_n\,\} = X_{(n)}-X_{(1)}.}

חציון המדגם הוא סטטיסטי סדר כאשר גודל המדגם אי זוגי מאחר שיש ערך אמצעי יחיד בין ערכי המדגם. כלומר, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=2m+1} עבור מספר שלם לא שלילי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} , אז חציון המדגם הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_{(m)}} ואז הוא גם סטטיסטי סדר. לעומת זאת אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} הוא זוגי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=2m} (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} מספר טבעי) וישנם שני ערכי אמצע, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_{(m)}} ו-${\textstyle X_{(m+1)}}$, ואז חציון המדגם הוא פונקציה של שני הערכים (בדרך כלל הממוצע) והחציון עצמו אינו סטטיסטי סדר. הערות דומות נכונות לשאר שברוני המדגם.

דוגמה חשובה בסטטיסטיקה תיאורית הוא הטווח הבין רבעוני שגם הוא פונקציה של סטטיסטי סדר.

פונקציות ההתפלגות והצפיפות של סטטיסטי סדר

בהינתן מדגם מקרי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_1,...,X_n} , של משתנים מקריים בלתי תלויים רציפים ושווי התפלגות, עם פונקציית התפלגות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_X(x)} , פונקציית ההתפלגות של סטטיסטי הסדר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} -י היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{X_{(k)}}(x) = \sum_{j=k}^{n} \binom nj [ F_{X}(x) ]^{j} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j}}

אם בנוסף, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_X(x)} רציפה בהחלט ולכן גזירה, קיימת פונקציית צפיפות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{X}(x) = F'_{X}(x) }

במקרה כזה פונקציית הצפיפות של סטטיסטי הסדר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} -י היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{X_{(k)}}(x) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} f_{X}(x) [ F_{X}(x) ]^{k-1} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-k}}

הוכחה: לכל משתנה מקרי $X_{i}$ נגדיר משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_i} שמקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_i=1} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_i\leq x} ואחרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_i=0} . נגדיר משתנה מקרי נוסף, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y= \sum_{i=0}^{n}I_i} . המשתנה המקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} סופר כמה ממשתני המדגם קטנים או שווים ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ולכן $Y\geq k$ אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_{(k)}\leq x} . המשתנה המקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} הוא משתנה בינומי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y \sim \mathrm{Bin}(n,F_X(x))} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_X(x)=\Pr(X_i\leq x)} . לכן, פונקציית ההתפלגות של סטטיסטי הסדר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{X_{(k)}}(x)=\Pr(X_{(k)}\leq x)=\Pr(Y\geq k)=\sum_{j=k}^{n} \binom nj [ F_{X}(x) ]^{j} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j}}

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_X(x)} רציפה בהחלט נוכל לקבל את פונקציית הצפיפות של סטטיסטי הסדר ה-$k$, אם נגזור את פונקציית ההתפלגות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F'_{X_{(k)}}(x)=f_X(x)\left[\sum_{j=k}^{n} \binom nj j[ F_{X}(x) ]^{j-1} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j}-\sum_{j=k}^{n-1} \binom nj (n-j)[ F_{X}(x) ]^{j} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j-1}\right]}

נציב את נוסחת הבינום בשני הסכומים,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =f_X(x)\left[\sum_{j=k}^{n} \frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} [ F_{X}(x) ]^{j-1} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j}-\sum_{j=k}^{n-1} \frac{n!}{j!(n-j-1)!} [ F_{X}(x) ]^{j} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j-1}\right]}

נרשום בסכום מימין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j-1} במקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} ונשנה את גבולות הסכום בהתאם,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =f_X(x)\left[\sum_{j=k}^{n} \frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} [ F_{X}(x) ]^{j-1} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j}-\sum_{j=k+1}^{n} \frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} [ F_{X}(x) ]^{j-1} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-j}\right]}

הכל מצטמצם פרט לאיבר הראשון בסכום השמאלי,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} f_X(x)[ F_{X}(x) ]^{k-1} [ 1 - F_{X}(x) ]^{n-k} }

מ.ש.ל

לקריאה נוספת

• שלדון רוס, תרגום: מיכל גולן, אורה מאור, הסתברות-קורס ראשון, מהדורה חמישית (תרגום פרקים 1–8 בלבד), האוניברסיטה הפתוחה, 2001

קישורים חיצוניים

• סטטיסטי הסדר, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

סטטיסטי הסדר38346424Q1767128