טווח (סטטיסטיקה)
בסטטיסטיקה, הטווח של המדגם הוא ההפרש בין הערך הגדול במדגם לערך הקטן. הוא מבוטא באותן יחידות כמו הנתונים.
בסטטיסטיקה תיאורית, טווח המדגם הוא גודל המרווח הקטן ביותר המכיל את כל הנתונים ומספק אינדיקציה לפיזור סטטיסטי.
התפלגות טווח של מדגם מקרי
עבור משתנים מקריים נסמן ב- את הטווח שלהם, שמוגדר ע"י,
הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle T=Max(X_{1},X_{2},...,X_{n})-Min(X_{1},X_{2},...,X_{n})} .
מאחר שהמקסימום הוא סטטיסטי הסדר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} והמינימום הוא סטטיסטי הסדר ה-1 ניתן לכתוב באופן שקול בקצרה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle T=X_{(n)}- X_{(1) }} .
התפלגות
עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים ושווי התפלגות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_1,X_2,...,X_n} עם פונקציית התפלגות רציפה בהחלט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)} ופונקציית צפיפות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)}
לטווח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , יש את פונקציית ההתפלגות,
.
![{\textstyle F_{T}(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }f(x)[F(x+t)-F(x)]^{n-1}{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aadcb8cf4065761164f07cc6e73b4deff396f94b)
פונקציית הצפיפות
- אם נגזור את פונקציית ההתפלגות נקבל את פונקציית הצפיפות,
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{T}(t)= n(n-1)\int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+t)[F(x+t)-F(x)]^{n-2} \, \text{d}x}
תוחלת
תוחלת הטווח ניתנת על ידי על ידי
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E [ T ]= n \int_{-\infty}^\infty x [F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}] \,f( x ) \text{d}x} .
הוכחה
נובע מכך שהטווח הוא ההפרש בין המקסימום (סטטיסטי הסדר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ) לבין המינימום (סטטיסטי הסדר ה-1) ולכן גם התוחלת של הטווח היא ההפרש בין התוחלות של המקסימום והמינימום.
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E[T]=E[X_{(n)}-X_{(1)} ]=E[X_{(n)}]-E[X_{(1)} ]}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =n\int_{-\infty}^{\infty}f(x)F(x )^{n-1} dx-n\int_{-\infty}^{\infty}f(x)(1-F(x ) )^{n-1} dx}
מכאן התוצאה מתקבלת ממיזוג האנטגרלים.
מ.ש.ל
כאשר פונקציית הצפיפות דועכת מספיק מהר בזנבות ההתפלגות, כלומר מקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty} x^2f(x)=0} וגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty} x^2f(-x)=0} , אז מתקיים,
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E[T]=\int_{-\infty}^{\infty}\left[1-F(x )^{n} - (1-F(x ) )^{n}\right] \text{d}x}
הוכחה
הראינו כי
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E [ T ]= n \int_{-\infty}^\infty x [F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}] \,f( x ) \text{d}x}
מההגדרה של אינטגרל לא אמיתי,
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \lim_{u\rightarrow \infty }n \int_{-u }^u x [F(x )^{n-1}-(1-F(x))^{n-1} ] \,f( x ) \text{d}x}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \lim_{u\rightarrow \infty } \left[ x [F(x )^{n}+(1-F(x))^{n} -1 ] \right]_{-u}^u- \lim_{u\rightarrow \infty }\int_{-u }^u[F(x )^{n}+(1-F(x))^{n} -1 ]\text{d}x }
נראה שהחלק השמאלי של הביטוי מתאפס ואז החלק הימני נותן את התוצאה המבוקשת,
![{\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }\left[x[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]\right]_{-u}^{u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb80d5fff25c7e7da563653a71c5f9f03525f51c)
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \lim_{u\rightarrow\infty} u [F(u )^{n}+(1-F(u ) )^{n} -1 ]+u [F(-u )^{n }+(1- F(-u ) )^{n } -1 ] }
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =\lim_{u\rightarrow\infty}u\left(F(u )^{n}+(1-F(u ) )^{n} + F(-u )^{n }+(1-F(-u ) )^{n }\right) }
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =\lim_{u\rightarrow\infty} \frac{F(u )^{n}+(1-F(u ) )^{n} + F(-u )^{n }+(1-F(-u ) )^{n }}{1/u} }
נפעיל את כלל לופיטל,
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =\lim_{u\rightarrow\infty} n\frac{f(u)\left[F(u )^{n-1}-(1-F(u ) )^{n-1} \right]+f(-u)\left[ F(-u )^{n-1 }-(1-F(-u ) )^{n-1 } \right]}{-1/u^2} }
על סמך תכונות פונקציית ההתפלגות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{u\rightarrow\infty }F(u)=1} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{u\rightarrow\infty }F(-u)=0} , ועל סמך הנתון כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{u\rightarrow\infty} u^2f(u)=0} ו- נקבל את התוצאה המבוקשת,
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =\lim_{u\rightarrow\infty} n u^2 f(u )\left[(1-F(u ) )^{n-1 }-F(u )^{n-1 } \right]+ \lim_{u\rightarrow\infty} n u^2 f(-u)\left[ (1-F(-u ) )^{n-1 }-F(-u )^{n-1 } \right]=0 }
מ.ש.ל
התפלגות טווח של מדגם מקרי הלקוח מהתפלגויות שונות
עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} משתנים אקראיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_1,X_2,...,X_n} עם פונקציות התפלגות רציפות בהחלט, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_1(x),F_2(X),...,F_n(X)}
ופונקציות צפיפות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)} , לטווח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} יש פונקציית ההתפלגות:
![{\displaystyle F_{T}(t)=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)\prod _{j=1,j\neq i}^{n}[F_{j}(x+t)-F_{j}(x)]\,{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a643637245311ca6e58573a6d4957bfaf7db41)
פונקציית הסתברות של טווח מדגם מקרי הלקוח מתוך התפלגות אחידה בדידה
אם המדגם לקוח מההתפלגות האחידה הבדידה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_1,X_2,...,X_n\sim U (1,N)} אז
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(T=t) = \begin{cases} \frac{1}{N^{n-1}} & t=0 \\[4pt] (N-t)\left(\left[\frac{t+1}{N}\right]^n -2\left[\frac{t}{N}\right]^n +\left[\frac{t-1}{N}\right]^n \right) & t=1,2,3\ldots ,N-1 \end{cases}}
הטווח כאומד-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L}
הטווח הוא צירוף ליניארי של סטטיסטי הסדר, ולכן הוא אומד-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} .
ראו גם
| עיינו גם בפורטל: | |||
|---|---|---|---|
|
פורטל Mathematics | ||
קישורים חיצוניים
טווח (סטטיסטיקה)38192046Q1165839