נפח בקרה

נפח בקרה הוא הפשטה מתמטית לשם יצירת מודלים מתמטיים לתהליכים פיזיקליים בתחום מכניקת הרצף והתרמודינמיקה. זהו נפח מקובע במרחב או נע במהירות קבועה, התחום במסגרת ייחוס פנימית אשר נע בה חומר רציף (גז, נוזל או מוצק) בזרימה רציפה. המשטח התוחם את נפח הבקרה מכונה משטח בקרה.

במצב יציב, נפח הבקרה יכול להיחשב כנפח שרירותי בו המסה של החומר הרציף נשארת קבועה. כאשר חומר רציף נע בתוך נפח הבקרה, המסה הנכנסת לתוך נפח הבקרה שווה למסה היוצאת ממנו. במצב יציב ובהיעדר עבודה או העברת חום, האנרגיה בתוך נפח הבקרה נשארת קבועה. זוהי אנלוגיה לתפיסת המכניקה הקלאסית של תרשים גוף חופשי.

סקירה כללית

על מנת להבין כיצד חוק טבע חל על המערכת הנבחנת, ראשית יש לבחון את ההשלכות על נפח בקרה קטן או "נפח מייצג". חשוב להדגיש כי אין שום דבר מיוחד בנפח בקרה, זהו כלי אשר עוזר להשליך את החוקים הללו על חלק קטן ממערכת כללית.

ניתן לטעון כי חוקי טבע אשר מתקיימים בצורה מסוימת בנפח בקרה כלשהו, מתקיימים באותה צורה בכלל הנפחים. זאת משום שנפח הבקרה הספציפי שנבחר אינו שונה או מיוחד בצורה כלשהי. בהתאם לזאת, הנוסחה התואמת למודל המתמטי ניתנת לפיתוח כך שתוכל לתאר את ההתנהגות הפיזיקלית של כלל המערכת (ואפילו אף מורכבת יותר).

במכניקת הרצף, משוואות השימור (למשל, משוואות נאוויה-סטוקס) הן בצורה אינטגרלית, לכן הן חלות על נפחים. מציאת המשוואות אשר אינן תלויות בנפח הבקרה מאפשרת הפשטה של גבולות האינטגרציה.

נגזרות חומריות

חישובים במכניקת רצף דורשים לעיתים קרובות כי אופרטור נגזרת הזמן $d/dt$ יוחלף באופרטור נגזרת חומרית $D/Dt$. ניתן לראות זאת בהמשך.

לשם המחשה, נדמיין נמלה אשר נעה בנפח מסוים אשר מכיל סקלר כלשהו, לדוגמה לחץ, אשר משתנה עם הזמן והמיקום: $p=p(t,x,y,z)$.

אם הנמלה נעה ממיקום $(x,y,z)$ לעבר $(x+dx,y+dy,z+dz)$ בעת אינטרוול הזמן מ-$t$ ל- $t+dt$, אז הנמלה עוברת שינוי $dp$ בערך הסקלר:

$dp={\partial p \over \partial t\ }dt+{\partial p \over \partial x\ }dx+{\partial p \over \partial y\ }dy+{\partial p \over \partial z\ }dz$

אם הנמלה נעה במהירות $V=(v_{x},v_{y},v_{z})$, השינוי בחלקיק המיקום הוא $Vdt=(v_{x}dt,v_{y}dt,v_{z}dt)$ ומותר לנו לרשום:

$dp={\partial p \over \partial t\ }dt+{\partial p \over \partial x\ }v_{x}dt+{\partial p \over \partial y\ }v_{y}dt+{\partial p \over \partial z\ }v_{z}dt$

$=({\partial p \over \partial t\ }+{\partial p \over \partial x\ }v_{x}+{\partial p \over \partial y\ }v_{y}+{\partial p \over \partial z\ }v_{z})dt$

$=({\partial p \over \partial t\ }+v\cdot \triangledown p)dt$

כאשר $\triangledown p$ הוא גרדיאנט השדה הסקלרי p ומכאן:

${d \over dt}={\partial \over \partial t\ }+V\cdot \triangledown$

אם הנמלה נעה אך ורק עם הזרם, אותה נוסחה חלה, אך כעת וקטור המהירות v, שווה למהירות הזרימה u. הביטוי בסוגריים האחרונים הוא נגזרת חומרית של סקלר הלחץ. מכיוון שהלחץ p בחישוב זה הוא שדה סקלר שרירותי, ניתן לפשט זאת ולכתוב את האופרטור של הנגזרת החומרית:

${D \over Dt}={\partial \over \partial t\ }+u\cdot \triangledown$

ראו גם

• מכניקת הרצף
• תורת היחסות הפרטית
• נגזרת חומרית