נגזרת חומרית

במכניקת הרצף הנגזרת החומרית/מלווה מתארת את קצב ההשתנות בזמן של גודל פיזיקלי (כמו טמפרטורה ותנע) עבור חומר נזיל הנתון לשדה מהירות תלוי זמן ומרחב.

הנגזרת המלווה יכולה להוות קשר בין התיאורים של אוילריאן ולגראנז'יאן לעיוות המרחב.

למשל: בדינמיקת נוזלים, ניקח מקרה בו שדה המהירות הוא מהירות הזרימה עצמה והתכונה הנבדקת היא טמפרטורת הנוזל, אז הנגזרת המלווה מתארת את השתנות הטמפרטורה בזמן, של כמות נוזל הנעה לאורך קו מסלול.

הגדרה

הנגזרות החומריות של שדה סקלרי $\varphi (x,t)$ ושל שדה וקטורי $u(x,t)$ מוגדרות בהתאמה:

${\begin{aligned}{\frac {D\varphi }{Dt}}&={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+v\cdot \nabla \varphi \\{\frac {Du}{Dt}}&={\frac {\partial u}{\partial t}}+v\cdot \nabla u\end{aligned}}$

כאשר מדובר במקרה של נגזרת חומרית הפועלת על שדה וקטורי, ניתן לפרש את הביטוי $v\cdot \nabla u$ כ-$v\cdot (\nabla u)$ או כ-$(v\cdot \nabla )u$ כאשר בשני המקרים נגיע לאותה תוצאה.

למשל: במערכת צירים קרטזית תלת-ממדית $(x_{1},x_{2},x_{3})$ , הביטוי $v\cdot \nabla \varphi$ שווה:

$v_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+v_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+v_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}$

באופן מטעה משתמשים בביטוי נגזרת מלווה עבור הביטויים $v\cdot \nabla \varphi$ או $v\cdot \nabla u$ כשלמעשה השימוש נכון רק במקרים בהם ${\frac {D}{Dt}}$ הזרימה אינה תלויה בזמן.

פיתוח

ניקח פונקציה סקלרית $\varphi =\varphi (x,t)$ כאשר $x$ המיקום ו-$t$ הזמן. הפונקציה מתארת גודל פיזיקלי כלשהו כגון טמפרטורה, גובה וכו'.

הגודל הפיזיקלי קיים בתוך נוזל שאת מהירותו ניתן לייצג על ידי שדה וקטורי $v(x,t)$ . נשתמש בכלל השרשרת על מנת לגזור את הפונקציה $\varphi (x,t)$ :

${\frac {d}{dt}}{\bigl (}\varphi (x,t){\bigr )}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \varphi \cdot {\frac {dx}{dt}}$

נגזרת הפונקציה $\varphi (x,t)$ תלויה בווקטור:

${\frac {dx}{dt}}=\left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)^{T}$

המתאר קו מסלול נבחר במרחב.

למשל, אם המסלול הנבחר הוא ${\frac {dx}{dt}}=0$ נגזרת הפונקציה תהיה שווה לנגזרת החלקית לפי זמן. במקרה הזה הזמן הוא המשתנה והמרחב הנו קבוע. המצב הנ"ל בו המיקום קבוע מוגדר כנגזרת אוילריאן.

דוגמה הממחישה מצב זה, הוא אדם העומד במיקום קבוע בתוך אגם, ומרגיש שינויים בטמפרטורה הנגרמים כתוצאה מהתחממות המים על ידי השמש.

לחלופין אם המסלול של השחיין $x(t)$ אינו קבוע, הנגזרת בזמן של $\varphi$ עשויה להשתנות בהתאם למסלול.

למשל, נתונה בריכה מקורה עם מים עומדים. שני הקצוות של הבריכה מוחזקות בטמפרטורות קבועות כאשר הקצה האחד חם והשני קר. שחיין השוחה מצידה האחת לצידה השני של הבריכה ירגיש עם הזמן שינוי בטמפרטורה וזאת למרות שהטמפרטורה נשארת קבועה בכל נקודה במרחב. הסיבה לשינוי בטמפרטורה היא ביצוע המדידות במיקומים שונים. הנגזרות החומריות מתקבלת, כאשר המסלול $x(t)$ נבחר כמסלול בעל מהירות השווה למהירות הנוזל:

${\frac {dx}{dt}}=V$

מסלול זה עוקב אחר זרם הנוזל ומתואר על ידי שדה מהירות של הנוזל $v$ . כך שהנגזרת המלווה של הסקלר $\varphi$ היא:

${\frac {D\varphi }{Dt}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \varphi \cdot V$

דוגמה למקרה זה הנו גוף קל משקל הצף באופן טבעי ונסחף בנהר זורם שהטמפרטורה בו משתנה (חלק מהנהר מוצל וחלקו חשוף לשמש) ובנוסף טמפרטורת המים עולה עם התקדמות בזמן. השינויים בעקבות תנועת החלקיק (הנגרמת מתנועת הזורם) נקראים אדווקציה או קונווקציה במקרה של הזזת הווקטור ${\frac {dx}{dt}}$ .

ההגדרה הנ"ל מניחה את הטבע הפיזיקלי של זרם הנוזל, עם זאת אין הסתמכות על חוקי הפיזיקה (למשל, אין כל הוכחה שחלקיק קל משקל הנע בזרם נהר, ינוע במהירות המים). יחד עם זאת מסתבר כי ניתן להיעזר בנגזרות החומריות לתיאור תופעות פיזיקליות שונות. המקרה הכללי של אדווקציה מסתמך על חוקי שימור מסה בזרם הנוזל, אך כאשר מדובר בתווך לא משמר המצב שונה.

עד כה התייחסנו לגודל הפיזיקאלי כסקלר. במקרה בו מדובר בווקטור, הגרדיאנט יהפוך לנגזרת של טנזור. עבור השדה הטנזורי בנוסף לתזוזה של מערכת הקואורדינטות בעקבות תנועת הנוזל יש גם לקחת בחשבון את הרוטציה והמתיחה.

קואורדינאטות אורתוגונאליות

הרכיב ה-$j$ של הנגזרת בקואורדינאטות האורתוגונאליות:

$\left[V\cdot \nabla u\right]_{j}=\sum _{i}{\frac {v_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial u_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {u_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(v_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-v_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right)$

כאשר ה-$h_{i}$ מוגדרים על ידי מטריצה טנזורית:

$h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}$

במערכת קואורדינאטות קרטזיות $(x,y,z)$ :

$V\cdot \nabla u={\begin{pmatrix}v_{x}{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}+v_{y}{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}+v_{z}{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial z}}\\v_{x}{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}+v_{y}{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}+v_{z}{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial z}}\\v_{x}{\dfrac {\partial u_{z}}{\partial x}}+v_{y}{\dfrac {\partial u_{z}}{\partial y}}+v_{z}{\dfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}$