משפט לסקר-נתר

משפט לסקר-נתר הוא משפט בתורת החוגים, המספק, עבור כל אידיאל של חוג קומוטטיבי נותרי, פירוק בתור חיתוך של מספר סופי של אידיאלים פרימריים. הפירוק שבו מספר האידיאלים מינימלי הוא יחיד מבחינת הרדיקלים של האידיאלים הפרימריים המשתתפים בו.

את המשפט הוכיח עמנואל לסקר עבור חוגי פולינומים בכמה משתנים מעל שדה, ואמי נתר הכלילה אותו לכל חוג נותרי.

ניסוח המשפט

יהי $A$ חוג נותרי וקומוטטיבי. כל אידיאל $I$ של $A$ הוא חיתוך $I=Q_{1}\cap \ Q_{2}\cap ...\cap \ Q_{n}$ , עבור אידיאלים פרימריים $Q_{1},Q_{2},...Q_{n}$ . בנוסף לזה, בכל הדרכים להציג את $I$ כחיתוך כזה עם $n$ מינימלי, מתקבלים אותם רדיקלים ${\sqrt {Q_{1}}},{\sqrt {Q_{2}}},...,{\sqrt {Q_{n}}}$ (עד כדי סדר).

הוכחת הקיום

למה ראשונה: בחוג נותרי כל אידיאל הוא חיתוך של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים (אידיאל אי-פריק הוא אידיאל שלא ניתן להציג כחיתוך של שני אידיאלים אחרים).

הוכחה: נניח בשלילה שקיימים אידיאלים שאינם חיתוך של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים. על-פי עקרון המקסימום, המתקיים בחוגים נותריים, ניתן להניח שיש אידיאל $M$ שהוא מקסימלי מבין האידיאלים בעלי תכונה זו.

$M$ בוודאי אינו פריק, ולכן ניתן לרשום $M=A\cap B$ כאשר $M\subsetneq \ A,B$ . מתוך המקסימליות של $M$ נובע ש- $A,B$ הם חיתוכים של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים, ולכן גם החיתוך שלהם, $M$ , הוא כזה - בסתירה להנחה.

למה שנייה: בחוג קומוטטיבי נותרי $A$ , כל אידיאל אי פריק $Q$ הוא פרימרי.

הוכחה: נניח ש- $Q$ אינו פרימרי ונוכיח שהוא פריק. מכיוון ש- $Q$ אינו פרימרי, קיימים איברים $b,c\in A$ כך ש- $c\not \in Q$ וגם $\forall \ n:\ b^{n}\not \in Q$ .

נסמן $I_{k}=\{x\in A|xb^{k}\in Q\}$ . מכיוון ש- $Q$ הוא אידיאל, אם $xb^{k}\in Q$ אז גם אם נכפול אותו באיבר כלשהו הוא יישאר באידיאל ולכן גם $xb^{k+1}\in Q$ .

אנו מקבלים את השרשרת העולה $Q=I_{0}\subset I_{1}\subset \ I_{2}\subset \dots$ . מכיוון שהחוג נותרי השרשרת חייבת להעצר ולכן קיים $l$ כך ש- $I_{l}=I_{l+1}$ . לכן, אם $xb^{l+1}\in Q$ אזי $xb^{l}\in Q$ .

כעת נסתכל על הקבוצות $M=Q+Ab^{l}$ ו- $N=Q+Ac$ . הן בוודאי שונות מ- $Q$ מכיוון ש- $b^{l}\not \in Q$ ו- $c\not \in Q$ .

נוכיח ש- $(Q+Ab^{l})\cap \ (Q+Ac)=Q$ . ברור ש- $Q\subset \ M\cap \ N$ מכיוון ש- $Q\subsetneq \ M$ וגם $Q\subsetneq \ N$ . נראה ש- $M\cap \ N\subset \ Q$ .

ניקח איבר בחיתוך, ונציג אותו כאיבר כל אחד מהקבוצות: $q+ab^{l}=q'+a'c$ כאשר $q,q'\in Q$ ו- $a,a'\in A$ .

נכפול את שני צידי המשוואה ב- $b$ ונקבל $qb+ab^{l+1}=q'b+a'bc$ .

עכשיו, נתון לנו ש- $bc\in Q$ ומכיוון ש- $Q$ הוא אידיאל אז $a'bc\in Q$ . מכיוון ש- $Q$ אידיאל גם $qb,q'b\in Q$ . זה גורר שהאיבר היחיד שנותר במשוואה גם כן שייך ל- $Q$ : $ab^{l+1}\in Q$ .