אידיאל פרימרי

באלגברה מופשטת, אידיאל פרימרי (או אידיאל קמאי) של חוג קומוטטיבי הוא אידיאל, המקיים את התכונה הבאה: אם המכפלה ab שייכת לאידיאל, אז או ש- a שייך לאידיאל, או שחזקה כלשהי של b שייכת לאידיאל. אידיאל הוא ראשוני אם במקרה כזה אחד מבין a או b שייך לאידיאל, ולכן כל אידיאל ראשוני הוא פרימרי.

כל חזקה של אידיאל מקסימלי היא פרימרית. בחוג דדקינד גם ההפך נכון: כל אידיאל פרימרי שאינו אפס הוא חזקה של אידיאל מקסימלי. לדוגמה, בחוג השלמים האידיאלים הפרימריים הם האידיאלים מהצורה $\ p^{t}\mathbb {Z}$ עבור p ראשוני.

אידיאל $\ I$ של חוג קומוטטיבי $\ A$ הוא פרימרי, אם בחוג המנה $\ A/I$ כל מחלק אפס הוא נילפוטנטי.

תכונות

כל אידיאל ראשוני הוא אידיאל פרימרי.

הוכחה. זה נובע ישירות מההגדרה הבאה של ראשוניות - אם לכל $\ ab\in \ I$ או $\ a\in \ I$ או $\ b\in \ I$ אז $\ I$ ראשוני.

הרדיקל של אידיאל פרימרי הוא ראשוני.

הוכחה. נניח $\ ab\in {\sqrt {Q}}$ , לכן $\ (ab)^{n}=a^{n}b^{n}\in \ Q$ . מתוך הפרימריות של $\ Q$ יוצא ש: או $\ a^{n}\in \ Q$ או $\ (b^{n})^{m}=b^{nm}\in \ Q$ עבור $\ m$ כלשהו. עכשיו, אם $\ a^{n}\in \ Q$ אז $\ a\in {\sqrt {Q}}$ ואם $\ b^{mn}\in \ Q$ אז $\ b\in {\sqrt {Q}}$ . לכן הרדיקל ראשוני כפי שרצינו.

משפט לסקר-נתר קובע שבחוג קומוטטיבי נתרי, כל אידיאל שווה לחיתוך של מספר סופי של אידיאלים פרימריים. הצגה זו היא כלי בסיסי בגאומטריה אלגברית. אם האידיאלים המשתתפים בחיתוך הם קו-מקסימליים (כמו שקורה למשל בחוג דדקינד), משפט השאריות הסיני מציג את חוג המנה כמכפלה ישרה של חוגים פרימריים.

פרימריות חזקה

אידיאל Q הוא פרימרי בחזקה (strongly primary) אם קיים n כך שהרדיקל $\ {\sqrt {Q}}$ מקיים $\ {\sqrt {Q}}^{n}\subseteq Q$ . כל אידיאל פרימרי נוצר סופית הוא פרימרי בחזקה.