אידיאל פרימרי
באלגברה מופשטת, אידיאל פרימרי (או אידיאל קמאי) של חוג קומוטטיבי הוא אידיאל, המקיים את התכונה הבאה: אם המכפלה ab שייכת לאידיאל, אז או ש- a שייך לאידיאל, או שחזקה כלשהי של b שייכת לאידיאל. אידיאל הוא ראשוני אם במקרה כזה אחד מבין a או b שייך לאידיאל, ולכן כל אידיאל ראשוני הוא פרימרי.
כל חזקה של אידיאל מקסימלי היא פרימרית. בחוג דדקינד גם ההפך נכון: כל אידיאל פרימרי שאינו אפס הוא חזקה של אידיאל מקסימלי. לדוגמה, בחוג השלמים האידיאלים הפרימריים הם האידיאלים מהצורה $ \ p^{t}\mathbb {Z} $ עבור p ראשוני.
אידיאל $ \ I $ של חוג קומוטטיבי $ \ A $ הוא פרימרי, אם בחוג המנה $ \ A/I $ כל מחלק אפס הוא נילפוטנטי.
תכונות
- כל אידיאל ראשוני הוא אידיאל פרימרי.
הוכחה. זה נובע ישירות מההגדרה הבאה של ראשוניות - אם לכל $ \ ab\in \ I $ או $ \ a\in \ I $ או $ \ b\in \ I $ אז $ \ I $ ראשוני.
הוכחה. נניח $ \ ab\in {\sqrt {Q}} $, לכן $ \ (ab)^{n}=a^{n}b^{n}\in \ Q $. מתוך הפרימריות של $ \ Q $ יוצא ש: או $ \ a^{n}\in \ Q $ או $ \ (b^{n})^{m}=b^{nm}\in \ Q $ עבור $ \ m $ כלשהו. עכשיו, אם $ \ a^{n}\in \ Q $ אז $ \ a\in {\sqrt {Q}} $ ואם $ \ b^{mn}\in \ Q $ אז $ \ b\in {\sqrt {Q}} $. לכן הרדיקל ראשוני כפי שרצינו.
משפט לסקר-נתר קובע שבחוג קומוטטיבי נתרי, כל אידיאל שווה לחיתוך של מספר סופי של אידיאלים פרימריים. הצגה זו היא כלי בסיסי בגאומטריה אלגברית. אם האידיאלים המשתתפים בחיתוך הם קו-מקסימליים (כמו שקורה למשל בחוג דדקינד), משפט השאריות הסיני מציג את חוג המנה כמכפלה ישרה של חוגים פרימריים.
פרימריות חזקה
אידיאל Q הוא פרימרי בחזקה (strongly primary) אם קיים n כך שהרדיקל $ \ {\sqrt {Q}} $ מקיים $ \ {\sqrt {Q}}^{n}\subseteq Q $. כל אידיאל פרימרי נוצר סופית הוא פרימרי בחזקה.
מקורות
- The Concise Handbook of Algebra, Chapter C.1, R. Gilmer.
ראו גם
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] אידיאל פרימרי22356457