משפט לורות

בתורת השדות, משפט לורות (Lüroth's theorem), הנקרא על שם המתמטיקאי יעקב לורות, קובע כי שדה ביניים של הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1 אף הוא שדה הרחבה טרנסצנדנטי מדרגה 1. לורות הוכיח את הטענה בשנת 1876.

יהי $\mathbb {F}$ שדה ותהי $\mathbb {F} (x)$ שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה אחד, כלומר הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1. אזי כל שדה ביניים ממש $\mathbb {F} \subset K\subseteq \mathbb {F} (x)$ מהווה אף הוא הרחבה טרנסצנדנטית (מדרגה 1) - קיימת פונקציה רציונלית ${\frac {p(x)}{q(x)}}$ כך ש-$K=\mathbb {F} \left({\frac {p(x)}{q(x)}}\right)$.

ההוכחה הקלאסית, בעזרת תורת השדות בלבד, משתמשת בלמה של גאוס. הוכחות מודרניות ופשוטות יותר נתונות בעזרת עקומים גאומטריים.

טענה בעלת אופי דומה הוכחה על ידי Hartshorne : אם $\mathbb {F}$ שדה סגור אלגברית ו-$\mathbb {F} (x,y)$ מהווה הרחבה ספרבילית סופית מעל שדה ביניים $K$, אז $K$ הרחבה טרנסצנדנטית מעל $\mathbb {F}$. הטענה לא נשארת נכונה כאשר ההרחבה לא ספרבילית, וגם לא ביותר משתנים.

לקריאה נוספת

• להוכחה הקלאסית, ראו Graduate Algebra: Commutative View, Louis Halle Rowen, AMS, p.147-149
• להוכחה מסובכת אך קצרה יותר, ראו Cohn, P. M. (1991), Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Chapman Hall/CRC Mathematics Series 4, CRC Press, p. 148
• להוכחת משפט Hartshorne, ראו Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, Springer, New York, 1993,Remark V.6.2.1