משפט וולף וצורת גביש בשיווי משקל

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משפט וולף (Wulff theorem), על שם הקריסטלוגרף הרוסי גיאורג וולף (אנ'), קובע את הצורה של גביש בשיווי משקל (equilibrium crystal shape - ECS). צורה זו ממזערת את האנרגיה החופשית של פני השטח של הגביש בנפח קבוע. לצורך קביעת ה-ECS משתמשים בבניית וולף (Wulff reconstruction).

בניית קירי

Curie's construction for a rectangular prism of fixed volume and minimum surface energy
בניית קירי לתיבה בעלת נפח קבוע ואנרגיה משטחית מינימלית.

ג'וסיה וילארד גיבס טען במאמר מ-1876,[1] שטיפה או גביש יסדרו את עצמם כך שהאנרגיה החופשית של גיבס שלהם תמוזער על ידי קבלת צורה כזו שלפני השטח שלה יש את האנרגיה החופשית המזערית: הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\mathcal {G}}_{s}=\sum _{i}\gamma _{i}A_{i}} . כאן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G}_s} היא האנרגיה החופשית המשטחית של הגוף (טיפה או גביש), הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma_i} - האנרגיה החופשית הספיציפית (כלומר ליחידת שטח, במילים אחרות: מתח הפנים) של המשטח ה-i של הגוף, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_i} השטח של המשטח ה-i הזה. בשנת 1885 פרסם פייר קירי מאמר,[2] שבו הרחיב את קביעתו זו של גיבס. במאמרו, פתר קירי את הבעיה של הצורה של גבישים עבור מנסרה ריבועית ועבור קובוקטהדרון. נְפַתֵּחַ כאן את הגישה שלו לתיבה שמרכזה בראשית הצירים O, ומרחקי פיאותיה מהראשית הם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_x, h_y, h_z} (כמוראה באיור). השטחים של פאות התיבה בכיוונים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x, y, z} הם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4h_yh_z, 4h_xh_z, 4h_xh_y} , בהתאמה; ונפח התיבה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V = 8h_xh_yh_z} . האנרגיה המשטחית של התיבה היא סכום האנרגיות החופשיות של כל הפאות של התיבה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G}_s = 2\cdot\gamma_x4h_yh_z + 2\cdot\gamma_y4h_xh_z + 2\cdot\gamma_z4h_xh_y = {{\gamma_x}V \over h_x} + {{\gamma_y}V \over h_y} + 8\gamma_z{h_x}{h_y}} , כשבטאנו בשוויון השני את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_z} באמצעות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_x} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_y} .

כדי למצוא את המרחקים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_x} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_y} שיתנו את האנרגיה החופשית המשטחית המינימלית צריך שהנגזרות החלקיות המתאימות תתאפסנה. זה ייתן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma_x{h_y}{h_{z}} = {\gamma_y{h_x}{h_{z}}} {=\gamma_{z}{h_x}{{h}_{y}}} = {Constant}} . כלומר, האנרגיות החופשיות של כל הפאות של הגביש בשיווי משקל שוות זו לזו. יש לשים לב, גם, שהשטחים של הפאות תלויים הפוך במרחקים שלהן ממרכז הגביש (למשל, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_xh_y = {{V} \over {8}{h_z}}} ). מרחקים אלו פרופורציונליים, לכן, לאנרגיות החופשיות המשטחיות הספציפיות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{\gamma}_{x}/ {h}_x} = {{\gamma}_{y}/ {h}_{y}} = {{\gamma}_{z}/ {h}_z}\varpropto{\sqrt[3]{{\operatorname{}\!{{\gamma}_x}\!{{\gamma}_y}\!{{\gamma}_z}\over\operatorname{}\!V}}}} .

במילים אחרות: פנים עם אנרגיה חופשית משטחית חופשית ספציפית גבוהה מצויים רחוק יותר ממרכז הגביש, מאשר אלו עם אנרגיה חופשית משטחית ספציפית נמוכה, לראשונים יש שטח פנים נמוך יותר יחסית.

משפט וולף

על סמך תצפיותיו בגבישים שונים, הכליל ג'ורג' וולף את התוצאות של קירי עבור כל גביש בצורת פוליהדרון:[3][4] אנרגיית פני השטח המינימלית של פוליהדרון בעל נפח נתון תושג כשהמרחקים של פאות הפליהדרון מנקודה נתונה אחת יהיו פרופורציונליים לאנרגיות המשטחיות הספציפיות של הפאות. כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{\gamma}_i/ {h}_i} = Constant} עבור כל פאה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} בפוליהדרון.

בניית וולף

Wulff reconstruction
באמצעות בניית וולף אפשר לקבל את צורת שיווי המשקל של גביש (equilibrium crystal shape - ECS). העקום האדום מתאר את האנרגיה החופשית של פני השטח, γ, כפונקציה של הכיוון (אורכו של החץ האדום בכל כיוון פרופורציונלי לגודלה של האנרגיה החופשית המשטחית באותו כיוון). הקווים הכחולים t הם המשיקים לעקום האנרגיה החופשית (ניצבים לקווים החומים המחברים את נקודת ההשקה עם הראשית של עקום האנרגיה החופשית המשטחית). צורת שיווי המשקל של הגביש, המתוארת על ידי העקום הכחול המודגש, היא המעטפת הפנימית של כל המשיקים לעקום γ.

בשנת 1951 הכליל קונירס הרינג (אנ') ממעבדות בל בניו ג'רזי את משפט וולף לכלל הגופים הקמורים (לאו דווקא פוליהדרונים).[5] הוא פיתח בנייה גאומטרית לקביעת צורת שיווי המשקל (ECS) של גביש - היא בניית וולף: בשלב ראשון בונים את עקום האנרגיה החופשית הספציפית בכל כיוון, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta, \phi)} , בקואורדינטות פולריות. עבור גביש דו-ממדי מותחים מהראשית וקטור בכיוון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta} שאורכו פרופורציונלי לגודלה של האנרגיה המשטחית הספציפית באותו כיוון (החץ האדום באיור). אוסף קצות הווקטורים בכל הכיוונים יוצר את עקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} של החומר, הנקרא גם עקום וולף. בשלב שני קובעים גרפית את צורת שיווי המשקל של הגביש (ה-ECS) בצורה הבאה: בכל נקודה על עקום וולף מעבירים משיק, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} , לעקום (ישרים כחולים באיור), כלומר ניצב לקו הרדיאלי המחבר את הנקודה עם מרכז העקום (הישרים החומים באיור). המעטפת הפנימית של משיקים אלו נותנת את צורת שיווי המשקל (מסומנת בעקום כחול מודגש באיור). אם יש חודים בעקום וולף, הבנייה תיתן צורת שיווי משקל שיש בה פאות מישוריות (הקווים הכחולים הישרים, שניצבים לקווים השחורים באיור). אם פאות אלו לא חותכות זו את זו בתוך עקום וולף, יתקבלו ב-ECS "פינות מעוגלות" (מחוספסות, המכילות מספר רב של מישורי שיווי-משקל), המפרידות בין המישורים הראשיים המרכיבים את צורת הגביש בשיווי-משקל (4 הפינות הכחולות המעוגלות באיור). הצורה של הפינות המעוגלות נקבעת על ידי המעטפת הפנימית של המשיקים לעקום וולף משני העברים של כל "פינה".

בניית הרינג

בגלל האזורים המחוספסים ב-ECS, קביעתה של צורת הגביש בשיווי-משקל מעקום וולף אינה תמיד קלה כל כך. הרינג תיאר במאמרו[5] בנייה נוספת - בניית הרינג - האומרת היכן במרחב האמיתי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x, y, z)} יופיע מישור בעל כיוון מסוים. הבנייה מקשרת, אם כן, בין נקודות במרחב האנרגיה-כיוון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\gamma, \theta,\phi)} , ובין נקודות במרחב האמיתי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x, y, z)} . במקרה זה רוצים לדעת האם הכיוון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} מיוצג בגביש בצורת שיווי המשקל שלו בנקודה שכיוונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} ? במילים אחרות, האם בכיוון כלשהו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} בגביש קיים, בצורת שיווי-המשקל שלו, מישור כלשהו, שכיוונו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} , כלומר מישור שניצב לווקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{OP}} , היכן ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O} היא הראשית של עקום וולף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta, \phi)} [או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} בדו-ממד]. זה יהיה המצב אם המישור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PQ} הוא חלק מהמעטפת הפנימית של המשיקים לעקום וולף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} , כך שאין משיק אחר ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} החותך את הכיוון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{OQ}} קרוב יותר לראשית.

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
בניית הרינג להסקה האם המישור שכיוונו P מיוצג בצורת שיווי המשקל של הגביש בנקודה שכיוונה Q. עבור העקום γ(θ) (באדום) ב-א' הכיוון P מיוצג, מפני שבכל הכיוונים (למשל בכיוון R) העקום γ(θ) נמצא מחוץ לכדור המשיק (בחום). לעומת זאת, ב-ב' המישור שכיוונו P, אינו מיוצג, מפני שבכיוון אחר, T, העקום γ(θ) נמצא בתוך הכדור המשיק. צורת שיווי המשקל (ECS) של מקרה א' מוראית בכחול ב-ג', והיא מכילה פינות מעוגלות (מחוספסות). לעומת זאת, ה-ECS של מקרה ב', המוראית ב-ד', מכילה רק מישורים שטוחים ופינות חדות.

הבנייה (ראו איור) מורכבת מציור עיגול שקוטרו מתחיל בראשית של עקום וולף (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O} ) ומסתיים בנקודה הנדונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} , כך שישיק לעקום וולף, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} (בדו-ממד), בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} . הזווית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \angle OPQ = 90 ^\circ} כי היא נשענת על קוטר, ולכן כיוון המישור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PQ} הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{OP}} (כלומר, הוא אמנם משיק לעקום וולף).

קריטריון הרינג

אם העיגול של הרינג מצוי כולו בתוך העקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} אז המישור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PQ} (שכיוונו: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{OP}} ) יופיע ב-ECS בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} . אם, לעומת זאת, חלק מעקום וולף חודר לתוך עיגול הרינג, אז המישור שכיוונו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{OP}} אינו קיים ב-ECS בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} .

צורת שיווי המשקל של הגביש היא, אם כן, המקום הגאומטרי של כל הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} על הכדורים המשיקים שאינם נחתכים על ידי חלקים אחרים של עקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} .

הוכחה

נניח שהעיגול של הרינג מצוי כולו בתוך העקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} (חלק א' באיור). עבור כל נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} על עקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} , שונה מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} , חייבת להימצא נקודה אחרת כלשהי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O} , שנמצאת על העיגול המשיק, כך ש‑הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \angle OSQ = 90 ^\circ} . המישור המקביל ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle SQ} והעובר ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} (כלומר המשיק ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} ) חייב לחתוך את הכיוון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{OQ}} מחוץ לעיגול המשיק. זאת אומרת, רחוק יותר מהראשית מאשר המשיק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PQ} . לכן, בכיוון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{OQ}} המשיק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PQ} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} נמצא על המעטפת הפנימית של המשיקים ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} , ומכאן שהוא מצוי ב-ECS.

כעת נניח שחלק מעקום וולף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} חודר לתוך עיגול הרינג (חלק ב' באיור). במקרה כזה קיימת לפחות נקודה אחת על עקום וולף, למשל הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , שמצויה בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O} ובין נקודה אחרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} שעל העיגול המשיק. כעת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \angle OUQ = 90 ^\circ} (כי היא נשענת על קוטר). הישר העובר דרך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} ומקביל ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {U}Q} הוא המשיק ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} . הוא חותך את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle OQ} בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q'} בתוך העיגול. כלומר, קרוב יותר לראשית בכיוון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{OQ}} מאשר המשיק ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(\theta)} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} . לכן, המישור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PQ} אינו יכול להיות חלק מהמעטפת הפנימית של המשיקים, ולא יימצא ב-ECS.

צורות שיווי המשקל של המקרים א' ו-ב' מוראות בכחול ב-ג' ו-ד', בהתאמה.

התלות בטמפרטורה של צורת שיווי-המשקל של הגביש - טמפרטורת חספוס

Roughening of an NaCl crystal at elevated temperatures
תיאור סכמתי של ההתחספסות של גביש של מלח בישול בטמפרטורה גבוהה. האיור מתאר שמינית של הגביש בשתי טמפרטורות שונות. בטמפרטורה הנמוכה (משמאל) לגביש צורת קובייה. בטמפרטורה הגבוהה (מימין) התחילה התחספסות בצלעות ובקודקוד שלה (האזורים שבתוך הצורה המעוגלת בכחול בהיר קמורים).

האנרגיה החופשית המשטחית הספציפית תלויה בטמפרטורה, ולכן עקום וולף וצורת שיווי המשקל של הגביש משתנים עם הטמפרטורה. תופעה מעניינת הקשורה בכך היא מעבר החספוס (roughening transition). מעבר זה מאופיין בהיעלמות הפאות בצורת שיווי המשקל של הגביש, כאשר הטמפרטורה עולה מגיעה לערך מסוים, הקרוי טמפרטורת החספוס. בטמפרטורות נמוכות מטמפרטורת מעבר זו מתחילות להופיע פאות בצורת הגביש, אבל ישנם בה אזורים מעוגלים (מחוספסים), קמורים. אזורי החספוס הללו הולכים וקטנים עם הורדת הטמפרטורה, עד שבסופו של דבר יופיעו בצורה צלעות וקודקודים. זה מודגם סכמתית באיור עבור המקרה של גבישים של מלח בישול.[6] בטמפרטורה נמוכה מ-620 מעלות צלזיוס יש לגבישים הללו את צורת הקובייה האופיינית להם. זה מתאים, בהצגה דו-ממדית, ל-ECS ולעקום וולף שבחלק ד' של האיור למעלה. ב-650 מעלות מתחילים להתעגל הקודקודים של הקובייה, ובטמפרטורה גבוהה יותר גם הצלעות, כמוראה באיור עבור 700 מעלות בערך. מצב זה מתאים ל-ECS ולעקום וולף שבחלק ג' באיור למעלה. ההתעגלות (החספוס) של כיוונים מסוימים בגביש נובעת מכך שעם העלאת הטמפרטורה גדלות האנרגיות החופשיות המשטחיות הספציפיות בגלל תרומת האיבר האנטרופי לאנרגיה החופשית. כתוצאה מכך החודים בעקום וולף בולטים פחות (פנימה) וצורת העקום מתעגלת (השוו, באיור למעלה, בין עקום וולף בחלק ב' - טמפרטורה נמוכה, והעקום בחלק א' - טמפרטורה גבוהה).

שימוש ב-ECS לקביעת אנרגיות משטחיות ספציפיות

צריך לשים לב שבדרך כלל הצורה של גבישים (בעיקר בטבע) אינה צורת שיווי המשקל שלהם. במקרים אלו הצורה של הגביש נקבעת על ידי שבירתו במישורים מסוימים, או ליטושו במישורים מסוימים, למשל בהכנת אבני חן כמו יהלומים; או על ידי קצב הגידול של המישורים השונים של הגביש. מעשית, גבישים מגיעים לצורת שיווי המשקל שלהם אם האטומים יכולים לפעפע על פני השטח שלהם במהירות גבוהה מספיק כדי להגיע לאתרים המעודפים אנרגטית (כלומר שהאנרגיה החופשית שלהם מינימלית) על פני השטח. זה אפשרי, למשל, בגבישים קטנים של מתכות בטמפרטורות גבוהות מספיק.

כאשר גבישים מקבלים באמת את צורת שיווי המשקל שלהם, אפשר, תוך הסתמכות על משפט וולף, למדוד באמצעותה את האנרגיות המשטחיות של החומר בכיוונים השונים. זאת, אם ידועה, לפחות בכיוון אחד, האנרגיה המשטחית של החומר באותם תנאים.[7][8] או, לכל הפחות, אפשר למצוא את היחסים בין האנרגיות המשטחיות הספציפיות של החומר בכיוונים השונים הקיימים ב-ECS. שכן, לפי משפט וולף, היחסים בין המרחקים לפאות ב-ECS ממרכזו שווים ליחסי האנרגיות המשטחיות הספציפיות בכיוונים אלו, וליחסים ההפוכים של שטחי הפאות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\gamma_i \over {\gamma}_{j}} = {r_i \over {r}_{j}} = {{A}_j \over {{A}}_{i}}} . במשוואה זו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} מציין את שטח הפאה, והאינדקסים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i, j} מציינים את הכיוונים המתאימים בגביש.

בניית וולף קינטית

אף שמשפט וולף מתייחס לצורת הגבישים בשיווי משקל תרמודינמי, בעבודתו של וולף נעשו רוב התצפיות לגבי הגידול של גבישים, קרי המצב הקינטי ולא התרומדינמי. הוא אף ביטא זאת בשם המאמר שפרסם: על "השאלה של מהירות הגידול וההמסה של משטחים גבישיים".[3] הוא הניח שקיים קשר ישיר בין האנרגיה החופשית של המישורים הגבישיים ובין קצב הגידול שלהם, אך זה לא תמיד המצב. כך התפתחה "בניית וולף קינטית" (kinetic Wulff construction), שבה מוחלפות האנרגיות המשטחיות הספציפיות עבור הכיוונים הגבישיים השונים במהירויות הגידול של הגביש בכיוונים אלו.[9] גישה זו זוכה לתשומת לב רבה בפענוח וחיזוי הצורה של ננוחלקיקים חופשיים או על משטחים, וכן כאלו עם גבולות תאום. היא שימושית גם באפיטקסיה על מישורים גבישיים לא שכיחים.[10]

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ↑ J.W. Gibbs, On the equilibrium of heterogenous substances, JW Gibbs. Collected Works 1, 1928, עמ' 55-353
  2. ↑ P. Curie, Sur la formation des cristaux et sur les constantes capillaires de leurs différentes faces (On the formation of crystals and on the capillary constants of their different faces), Bulletin de Minéralogie, 1885•persee.fr 8 (6), 1885, עמ' 145-150
  3. ^ 3.0 3.1 G. Wulff, [https://www.degruyter.com/document/doi/10.1524/zkri.1901.34.1.449/html?lang=en Zur Frage der Geschwindigkeit des Wachsthums und der Auflösung der Krystallflächen (On the question of the speed of growth and the dissolution of the crystal surfaces)], Zeitschrift für Kristallographie 34, 1901, עמ' 449-530
  4. ↑ המאמר התפרסם לראשונה ברוסית ב-1895. הגרסה הגרמנית היא מ-1901.
  5. ^ 5.0 5.1 C. Herring, Some Theorems on the Free Energies of Crystal Surfaces, Physical Review 82/1, 1951, עמ' 87-93
  6. ↑ J.C. HEYRAUD and J.J. METOIS, EQUILIBRIUM SHAPE OF AN IONIC CRYSTAL IN EQUILIBRIUM WITH ITS VAPOUR (NaCI), Journal of crystal growth 84/3, 1987, עמ' 503-508
  7. ↑ J.J. Metois, P. Mueller, Absolute surface energy determination, Surface Science 548/1-3, 2004, עמ' 13-21
  8. ↑ H. Nahor, Y. Kauffmann, and W.D. Kaplan, [https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1359645418309650 The Cr-Doped Ni-YSZ(111) interface: Segregation, oxidation and the Ni equilibrium crystal shape], Acta Materialia 166, 2019, עמ' 28-36
  9. ↑ L.D. Marks and L. Peng, Nanoparticle shape, thermodynamics and kinetics, Journal of Physics: Condensed Matter 28, 2016, עמ' 053001
  10. ↑ H. Li et al., Toward heteroepitaxially grown semipolar GaN laser diodes under electrically injected continuous-wave mode: From materials to lasers, Applied Physics Reviews 7/4, 2020, עמ' 041318
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט וולף וצורת גביש בשיווי משקל39217251Q907952

אוחזר מתוך "https://www.hamichlol.org.il/w/index.php?title=משפט_וולף_וצורת_גביש_בשיווי_משקל&oldid=3309688"