גרעין פואסון

גרעין פואסון הדו-ממדי מוגדר על ידי $P_{r}(\theta )={\frac {1-r^{2}}{1-2rcos(\theta )+r^{2}}}$ , כאשר $0\leq r<1,0\leq \theta <2\pi$ . זוהי העתקה חשובה באנליזה מרוכבת ובתורת הפונקציות ההרמוניות, העומדת בבסיס נוסחת פאוסון, בעזרתה מוכיחים טענות שימושיות רבות באנליזה הרמונית, כמו למשל את השקילות שבין פונקציה הרמונית לפונקציה המקיימת את תכונת הערך הממוצע.

הפונקציה נקראת על שמו של סימאון דני פואסון. בעזרת גרעין פואסון ניתן לפתור את משוואת לפלס הדו-ממדית על עיגול היחידה עם תנאי דיריכלה. לגרעין פואסון יש גם שימושים בפיזיקה, כמו בתורת הבקרה ובאלקטרוסטטיקה.

גרעין פואסון במישור

בעיגול היחידה

גרעין פואסון הדו-ממדי על עיגול היחידה $D=\{z:|z|<1\}$ נתון על ידי מספר הגדרות שקולות:

$P_{r}(\theta )={\frac {1-r^{2}}{1-2rcos(\theta )+r^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{r^{|n|}\cdot e^{in\theta }}=Re({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}})={\frac {1-r^{2}}{|1-re^{i\theta }|^{2}}}$

כאשר $0\leq r<1,0\leq \theta <2\pi$ .

לפונקציה מספר תכונות בסיסיות:

הפונקציה חיובית - $P_{r}(\theta )>0$
גרעין פואסון מונוטוני יורד בקטע $[o,\pi ]$ .
לכל $0\leq r<1$ מתקיים ${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{P_{r}(\theta )d\theta =1}$ .
מתקיים $\lim _{r\to 1}{P_{r}(\theta )}=0$ במידה שווה על כל קטע $[a,\pi ]$ לכל $0<a<\pi$ .

המשוואה הבסיסית והחשובה עבור גרעין פואסון בפונקציות מרוכבות היא:

משפט- כל פונקציה אנליטית $f:D\to \mathbb {C}$ ורציפה ב- $\partial {D}=\{z:|z|=1\}$ מקיימת

$\forall r<1,0\leq t<2\pi :f(re^{it})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{f(e^{i\theta })P_{r}(t-\theta )d\theta }$

כלומר, ערך הפונקציה בנקודה בתוך הדיסק נקבע על ידי ערכים על השפה, לפי קונבולוציה ביחס לגרעין פואסון.

כמסקנה ממשפט זה, מקבלים גרסה לפונקציות הרמוניות - אם $u$ פונקציה הרמונית ב- $D$ ורציפה ב- $\partial {D}$ , מקיימת:

$u(re^{it})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{u(e^{i\theta })P_{r}(t-\theta )d\theta }$

(כאשר $u(z)=u(Rez,Imz)$ ) נוסחה זו נקראת לרוב נוסחת פואסון.

בכיוון ההפוך, אם $f$ פונקציה ממשית רציפה על $\partial D$ אז הפונקציה $u$ כנ"ל הרמונית. יותר מכך, מקבלים את המשפט החזק הבא:

משפט- אם $f$ פונקציה ממשית רציפה על $\partial D$ , אז ניתן להרחיב אותה לפונקציה הרמונית $u$ על $D$ (בעזרת נוסחה כנ"ל).

הפונקציה $u$ המוגדרת לעיל נקראת אינטגרל פואסון של הפונקציה $f$ .

עיגול כללי

באופן דומה לעיל, ניתן להגדיר את גרעין פואסון על כל כדור $B(a,R)=\{z:|z-a|=R\}$ ע"י

$\forall 0\leq \theta <2\pi ,0\leq r<1:P_{r}(\theta )={\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rrcos(\theta )+r^{2}}}$

ואינטגרל פואסון של הפונקציה הוא

$u(a+re^{it})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{f(a+Re^{i\theta })P_{r}(t-\theta )d\theta }$

תכונת הערך הממוצע

נזכר שפונקציה $u$ המוגדרת בקבוצה פתוחה $\Omega$ מקיימת את תכונת הערך הממוצע, אם לכל $z_{0}\in \Omega$ קיימת סדרה $r_{n}>0,r_{n}\to 0$ כך ש- $u(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{u(z_{0}+r_{n}e^{i\theta })d\theta }$ .

משפט- אם $u$ מוגדרת בתחום פתוח, אז היא מקיימת את תכונת הערך הממוצע אם ורק אם היא הרמונית בו.

בחצי המישור העליון

היות שחצי המישור העליון $H=\{z:Imz>0\}$ הוא מרחב פשוט קשר, אפשר, לפי משפט ההעתקה של רימן, למפות אותו קונפורמית לעיגול היחידה. דוגמה לפונקציה מפורשות כזו היא ${\frac {z-i}{z+i}}$ . בפרט, גרעין פואסון עובר מ- $D$ ל- $H$ . הנוסחה המפורשות לגרעין היא:

$P_{y}(x)={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}$

ואינטגרל פואסון שלה הוא:

$u(x+yi)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{P_{y}(x-t)f(t)dt}$

היות שההעתקה הקונפרומית מעבירה גם שפת הדיסק לשפת חצי המישור (שהיא הישר הממשי), גם כאן מקבלים קונבולוציה בין ערכי הפונקציה על השפה לבין גרעין פואסון.

אם $f\in L^{p}$ (מרחב Lp) פונקציה ממשית, אז $u$ לעיל היא הרחבה של $f$ כפונקציה המוגדרת רק על השפה (כלומר, פונקציה ממשית) לפונקציה הרמונית על $H$ , כמו במקרה של עיגול היחידה.

גרעין פואסון במרחב אוקלידי כללי

כהכללה של המקרה הדו-ממדי, מגדירים את גרעין פואסון על כדור $B(0,r)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||<r\}$ :

$P_{r}(x,\zeta )={\frac {r^{2}-||x||^{2}}{r\omega _{n-1}||x-\zeta ||^{n}}}$

כאשר $\zeta \in S^{n-1}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||=r\}$ ו- $w_{n-1}$ שטח המשטח $S^{n-1}$ , הנתון מפורשות על ידי ${\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$ .

בדומה למקרה הדו-ממדי, בהינתן פונקציה $u$ רציפה על $S^{n-1}$ , ניתן להרחיב אותה לפונקציה הרמונית לתוך הכדור בעזרת אינטגרל פואסון:

$P[u](x)=\int _{S^{n-1}}{u(\zeta )P(x,\zeta )}d\zeta$

ניתן גם להרחיב פונקציות מוגדרות על $\mathbb {R} ^{n-1}\cong \{x\in \mathbb {R} ^{n}:x_{1}=0\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ אל חצי המרחב העליון $H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x_{1}>0\}$ , על ידי גרעין פואסון הכללי: