משפט המושבעים של קונדורסה

משפט המושבעים של קונדורסה (באנגלית: Condorcet's jury theorem) עוסק בהסתברות לקבלת החלטה נכונה על ידי קבוצת אנשים. המשפט הוצע על ידי המרקיז דה קונדורסה.

המשפט

המרקיז דה קונדורסה טען שהצבעה על פי רוב פשוט תביא להסתברות הגבוהה ביותר להגיע להחלטה הנכונה, תחת ההנחות הבאות:

1. מצב של החלטות דיכוטומיות, כלומר לכל החלטה קיימות שתי אלטרנטיבות הצבעה (לדוגמה $1$ או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1} );
2. צוות המורכב מקבוצה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} אנשים בעלי מטרה משותפת;
3. כישורי כל אחד מהפרטים להגיע להחלטה הנכונה גדולים מ־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0.5} (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0.5<p_i<1} );
4. אי תלות בקבלת ההחלטות - החלטת פרט אחד אינה משפיעה על החלטת הפרט האחר.

קיים וקטור כישורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P=(p_1,p_2,...,p_n)} ווקטור החלטות של הפרטים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X=(x_1,x_2,...x_n)} .

בהתבסס על ההנחות שהוזכרו לעיל ובהנחה שכל הפרטים זהים בכישוריהם להגיע להחלטה הנכונה, ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה על פי רוב פשוט גבוהה יותר מההסתברות להגיע להחלטה הנכונה על ידי פרט בודד. אם כך, כאשר מספר האנשים בצוות שואף לאינסוף, ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה שואפת ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} .

המשפט מעניק בסיס תאורטי מסוים לקיום דמוקרטיה, בה החלטות נקבעות על ידי רוב. עם זאת, נכונות המשפט מסתמכת על ארבעת ההנחות שבבסיסו, שאינן בהכרח מתקיימות במציאות.

דוגמה

נניח 3 פריטים עם כישורים זהים. אם ההחלטה מתקבלת לפי פרט אחד, ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה היא $p$.

אם ההחלטה מתקבלת לפי רוב פשוט אז ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^3+3(1-p)p^2} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^3} מציג את המצב ששלושתם צודקים ו - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3(1-p)p^2} מציג את המצב שאחד טועה ושניים צודקים.

מתקבל כי $p<p^{3}+3(1-p)^{2}$ ולכן כלל החלטה של רוב פשוט עדיף על פני החלטה של פרט אחד.

הרחבה

במאמר משנת 1982, בחנו החוקרים שמואל ניצן ויעקב פרוש מצב בו ההנחה כי כל הפרטים זהים בכישוריהם אינה מתקיימת. פרוש וניצן טענו כי במצב זה כלל החלטה האופטימלי הוא כלל רוב משוקלל שבו כל אחד מהפרטים מקבל משקל שונה בהתאם לכישורים שלו והמשקולות נקבעות לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_i=ln\Bigl({\frac{p_i}{1-p_i}}\Bigr)} וההחלטה מתקבלת לפי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F=sign(\sum_{n=1}^{n}{w_i}{x_i})} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle sign} זו פונקציית הסימן. מספר האופציות לווקטורי החלטה שונים עומד על $(2)^{n}$ ומספר אופציות לפונקציית ההחלטה האפשריות הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{2^n}} .

ככל שמספר הפריטים גדול יותר, כך מספר וקטורי החלטה ומספר האפשרויות לפונקציית החלטה גבוהים יותר. כללי ההחלטה האופטימליים (שאיתם מגיעים להסתברות הגבוהה ביותר להחלטה נכונה) יכולים להיקבע לפי החלטת הפרט בעל הכישורים הגבוהים ביותר בלבד (מומחה), מומחה וסגן, מומחה ושני סגנים, רוב פשוט וכו'.

בדוגמה הנ"ל ניתן לראות את ההחלטה המתקבלת בשלושה פרטים לפי כלל רוב פשוט ולפי החלטת פרט אחד.

החלטה של פרט 1	החלטה של פרט 2	החלטה של פרט 3	כלל החלטה לפי פרט 1	כלל החלטה רוב פשוט
1	1	1	1	1
1	1	1-	1	1
1	1-	1	1	1
1	1-	1-	1	1-
1-	1	1	1-	1
1-	1	1-	1-	1-
1-	1-	1	1-	1-
1-	1-	1-	1-	1-

לכן, במצב של שלושה פרטים, יש שמונה אופציות לוקטורי החלטה שונים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2)^3} ו-256 אופציות לפונקציית החלטה שונים (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{2^3}} ).

לצורך המחשה נתייחס לדוגמה הבאה:

מצב בו יש שלושה פרטים השונים בכישוריהם $p_{1}>p_{2}>p_{3}>0.5$ ומטרתם זהה: קיימים שני כללי החלטה אפשריים - לפי המומחה בלבד או לפי רוב פשוט. על מנת להכריע מהו הכלל האופטימלי ניעזר במשוואה הבאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\frac {p_1} {1-p_1}} < {\frac {p_2} {1-p_2}}*{\frac {p_3} {1-p_3} } }

אם הביטוי הנ"ל מתקיים, כלל ההחלטה האופטימלי הוא רוב פשוט. כלומר, ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה גבוהה יותר לפי רוב פשוט על פני מומחה בלבד. בנוסף, ניתן להגיע לכלל האופטימלי בעזרת כלל רוב משוקלל.

נניח כישורים שונים לכל פרט.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_1=0.9,p_2=0.8,p_3=0.6}

משקולות הפרטים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_1=ln\Bigl({\frac {p_1} {1-p_1}}\Bigr) =ln\Bigl({\frac {0.9} {0.1}}\Bigr)=2.19}

$W_{2}=ln{\Bigl (}{\frac {p_{2}}{1-p_{2}}}{\Bigr )}=ln{\Bigl (}{\frac {0.8}{0.2}}{\Bigr )}=1.38$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_3=ln\Bigl({\frac{p_3}{1-p_3}}\Bigr)=ln\Bigl({\frac{0.6}{0.4}}\Bigr)=0.4}

נקבל פונקציית החלטה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F=sign(2.19x_1+1.38x_2+0.4x_3) }

אם שני הפרטים עם הכישורים הנמוכים יותר מחליטים ההפך מהחלטת הפרט ה"מומחה", נניח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1=+1, x_2=-1, x_3=-1} נקבל שהפונקציה חיובית, כלומר כלל מומחה עדיף על פני כלל רוב פשוט. לא משנה מה יחליטו שני הפרטים הפחות כישרוניים, ההחלטה תתקבל לפי הפרט הראשון בלבד.

ראו גם

• תבחין קונדורסה
• פרדוקס ההצבעה

לקריאה נוספת

• ניצן ש. ופרוש י' (1982), קבלת החלטות אופטימלית במצבי אי ודאות
• ברג ס. ופרוש י' (1998), קבלת החלטות קוקטיבית בהיררכיות.
• דן אריאלי, לא רציונלי ולא במקרה, הוצאת מטר, 2008.

קישורים חיצוניים

• דן אריאלי, כיצד ניתן להשפיע על קבלת ההחלטות של אנשים בהווה למען מטרות עתידיות רחוקות? – הרצאה מאתר "12 דקות"
• דן אריאלי ומריאנו סיגמן, איך מקבלים החלטה נכונה בקבוצה-באנגלית
• דן אריאלי, קבלת החלטות – הרצאה באנגלית עם כתוביות בעברית"

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

37164245משפט המושבעים של קונדורסה