קדם-מידה
בערך זה |
בתורת המידה, קדם-מידה (באנגלית: Pre-measure) היא פונקציה שהיא "כמעט" פונקציית מידה, במובן זה שמשפחת הקבוצות שהיא מודדת אינה מהווה סיגמא-אלגברה.
חשיבותה של קדם-מידה היא שכאשר היא מוגדרת על משפחת קבוצות המקיימת תכונות מסוימות, אז היא יכולה להתרחב לכדי פונקציית מידה על סיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי משפחת הקבוצות הזו, לעיתים אף באופן יחיד. תכונה חשובה זו מכונה משפט ההרחבה, שלו שתי גרסאות: גרסת קרתאודורי עבור קדם-מידה המוגדרת על חוג למחצה של קבוצות, וגרסת האן-קולמוגורוב עבור קדם-מידה המוגדרת על אלגברה של קבוצות.
שיטה זו של בניית מידה על ידי בניית קדם-מידה היא חשובה ויסודית בתורת המידה, וכך למשל יש לה תפקיד מרכזי בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים.
הגדרה
תהי $ X $ קבוצה, ותהי $ {\mathcal {S}} $ אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות מעל $ X $.
פונקציה $ \mu _{0}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} _{+} $ נקראת קדם מידה, אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:
- $ \mu _{0}\left(\emptyset \right)=0 $
- אם $ A=A_{1}\cup A_{2}\cup \dots $ איחוד סופי או בן-מניה של קבוצות זרות בזוגות מתוך $ {\mathcal {S}} $, המקיים גם כי $ A\in {\mathcal {S}} $, אז
$ \mu _{0}\left(A\right)=\mu _{0}\left(A_{1}\right)+\mu _{0}\left(A_{2}\right)+\dots $
הסיבה לסימון $ \mu _{0} $ היא כי קדם-מידה מיועדת להפוך למידה, כפי שמראה משפט ההרחבה, אותה מסמנים בדרך כלל $ \mu $.
משפט ההרחבה
נסמן ב-$ \sigma \left({\mathcal {S}}\right) $ את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות $ {\mathcal {S}} $. לכל קדם-מידה $ \mu _{0}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} _{+} $, קיימת מידה $ \mu :\sigma \left({\mathcal {S}}\right)\to \mathbb {R} _{+} $ המרחיבה את $ \mu _{0} $. כלומר, לכל $ A\in {\mathcal {S}} $ מתקיים $ \mu \left(A\right)=\mu _{0}\left(A\right) $.
כמו כן, במצב בו $ \mu _{0} $ היא סיגמא-סופית,[1] אז $ \mu $ יחידה. במצב זה, כמובן גם $ \mu $ היא סיגמא-סופית.
ניתן להבחין כי אין כל הבדל בין אם קדם המידה מוגדרת על חוג למחצה של קבוצות או על חוג של קבוצות הנוצר על-ידה, שכן חוג של קבוצות הנוצר על ידי חוג למחצה של קבוצות הוא בדיוק אוסף כל האיחודים הסופיים של קבוצות זרות בזוגות מהחוג למחצה. לכן מאדיטיביות של קדם-מידה, היא מתרחבת באופן יחיד לכדי קדם-מידה על החוג הנוצר.
הגרסה של משפט ההרחבה עבור חוג למחצה של קבוצות נקראת משפט ההרחבה של קרתאודורי על-שם המתמטיקאי היווני-גרמני קונסטנטין קרתיאודורי. הגרסה של משפט ההרחבה עבור אלגברה של קבוצות נקראת משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, על-שמם של המתמטיקאי האוסטרי האנס האן והמתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.
אי היחידות של ההרחבה
כאמור במשפט, היחידות מובטחת רק כאשר המרחב הוא סיגמא-סופי ביחס לקדם המידה הנתונה. כאשר דרישה זו לא מתקיימת, אפילו אם המרחב כן סיגמא-סופי ביחס למידה המרחיבה, היחידות אינה מובטחת. להלן דוגמה לכך.
נתבונן במרחב $ X=\mathbb {Q} \cap \left[0,1\right] $, ותהי $ {\mathcal {S}} $ האלגברה של קבוצות הנוצרת על ידי הקטעים החצי-פתוחים במרחב, מהצורה $ \left[a,b\right) $.
נתבונן בקדם-מידה טריוויאלית על $ {\mathcal {S}} $ המקיימת $ \mu _{0}\left(\left[a,b\right)\right)=\infty $ לכל קטע. כמו כן נגדיר על הסיגמא-אלגברה $ \sigma \left({\mathcal {S}}\right) $ מידה $ \mu \left(A\right)=\left|A\right| $ ועוד מידה $ \nu \left(A\right)=2\cdot \left|A\right| $, כאשר $ \left|A\right| $ הוא הגודל של הקבוצה $ A $, והוא $ \infty $ בכל מצב בו הקבוצה אינה סופית.
אלו שתי מידות שמקבלות ערכים שונים על כל קבוצה סופית של $ \sigma \left({\mathcal {S}}\right) $ (יש קבוצות סופיות בסיגמא-אלגברה זו), וכמו כן ברור ששתיהן מרחיבות את הקדם-מידה $ \mu _{0} $, שכן כל קטע $ \left[a,b\right) $ במרחב מכיל אינסוף איברים, ולכן $ \mu \left(\left[a,b\right)\right)=\nu \left(\left[a,b\right)\right)=\infty $.
בניית מידת לבג
ערך מורחב – מידת לבג
היישום החשוב ביותר של משפט ההרחבה הוא בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים. בבנייה זו מתחילים מהחוג למחצה או האלגברה הנוצרים על ידי $ {\mathcal {S}}=\left\{\left(a,b\right]:a<b\right\} $, כאשר $ b $ יכול להיות גם אינסופי, ומגדירים עליו קדם-מידה להיות הנפח, כלומר $ \mu _{0}\left(\left(a,b\right]\right)=b-a $. כאשר מדובר בקטע אינסופי, ערכה של הקדם-מידה יהיה $ \infty $. ממשפט ההרחבה נובע שקיימת מידה על $ \sigma \left({\mathcal {S}}\right) $ המרחיבה את $ \mu _{0} $. מידה זו מכונה "מידת בורל".
מידת לבג עצמה מתקבלת על ידי עוד הרחבה של מידת בורל, המוגדרת על סיגמא-אלגברה גדולה יותר המכילה את $ \sigma \left({\mathcal {S}}\right) $.
כפי שנובע מהחלק הנוסף של משפט ההרחבה, היות שהמספרים הממשיים מהווים מרחב מדיד סיגמא-סופי ביחס לקדם-מידת הנפח, הרי שמידת לבג היא המידה היחידה על סיגמא-אלגברת בורל, שמקיימת את התכונה האינטואיטיבית שמידתו של כל קטע $ \left(a,b\right] $ היא האורך שלו, $ b-a $.
לקריאה נוספת
- Real Analysis, H. L. Royden, 1963, 219-224
קישורים חיצוניים
- משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, באתר PlanetMath
- משפט ההרחבה של קרתאודורי באתר PlanetMath
- Outer measures, pre-measures, and product measures בבלוג "What's new"
- An alternate approach to the Carathéodory extension theorem בבלוג "What's new"
הערות שוליים
- ↑ כלומר, ניתן להציג את $ X $ כאיחוד בן-מניה של קבוצות מתוך $ {\mathcal {S}} $, שקדם המידה של כל אחת מהן היא סופית.
קדם-מידה28589268Q1393014