מרחב n-קשיר
בטופולוגיה, n-קשירות (n-connectedness) היא תכונה טופולוגי של מרחב טופולוגי או של הומומורפיזם טופולוגי, המכלילה קשירות מסילתית ופשיטות קשר. תכונה זו מוגדרת על ידי התאפסות $ n $ חבורות ההומוטופיה הראשונות של המרחב, ובמקרה של הומומורפיזם - על ידי התאפסות חבורות ההומוטופיה של סיב ההומוטופיה המתאים להעתקה.
מרחב קשיר מסילתית הוא מרחב 0-קשיר, בעוד שמרחב פשוט קשר הוא מרחב 1-קשיר. על כן, מונח זה מהווה הכללה למונחים המדוברים. שימוש נפוץ במיוחד ב-n-קשירות הוא במשפט הורוויץ, המייצר איזומורפיזם בין חבורות ההומוטופיה לחבורות ההומולוגיה מסוימות של מרחבים n-קשירים.
מרחב n-קשיר
מרחב טופולוגי $ X $ נקרא n-קשיר (עבור $ n\geq 1 $), אם הוא לא ריק, קשיר מסילתית וכל חבורות ההומוטופיה שלו עד $ n $ מתאפסות:
$ \forall 1\leq i\leq n:\pi _{i}(X)=0 $
יש לשים לב כי במקרה הכללי של חבורות ההומוטופיה עבור $ n\geq 2 $, יש משמעות לבחירת נקודת הבסיס. עם זאת, למרחב פשוט קשר (עבורו $ \pi _{1}(X)=0 $) בחירת נקודת הבסיס אינה משנה - שתי חבורות עם נקודות בסיסי שונות שוות (ולא רק איזומורפיות). על כן, להגדרה לעיל אכן יש משמעות.
היות שהקבוצה $ \pi _{0}(X) $ נמצאת בהתאמה לרכיב הקשירות המסילתית של המרחב, הדרישה שהמרחב יהיה קשיר מסילתית שקולה לכך ש-$ \pi _{0}(X) $ טריוויאלי. על כן, מרחב לא ריק $ X $ הוא n-קשיר אם ורק אם $ \pi _{i}(X)=0 $ לכל $ 0\leq i\leq n $.
העתקה n-קשירה
העתקה רציפה בין מרחבים טופולוגיים $ f:X\to Y $ נקראת n-קשירה, אם סיב ההומוטופיה המתאים להעתקה $ Ff $ הוא מרחב טופולוגי (n-1)-קשיר. באופן שקול, הפונקציה היא n-קשירה אם ורק אם הפונקציה המושרית $ f_{*}:\pi _{i}(X)\to \pi _{i}(Y) $ מהווה איזומורפיזם עבור $ i<n $, ומהווה העתקה על עבור $ i=n $.
השקילות בין ההגדרות נובעת מסדרה מדויקת הקושרת בין חבורות ההומוטופיה של סיב ההומטופיה ושל המרחבים:
$ \dots \to \pi _{i}(X){\overset {\pi _{i}(f)}{\to }}\pi _{i}(Y)\to \pi _{i-1}(Ff)\to \dots $
ראו גם
מרחב n-קשיר26855866Q6358325