מרחב אולטרה-מטרי

מרחב אולטרה-מטרי הוא מרחב שמוגדרת עליו מטריקה המקיימת את האקסיומה $\ d(x,y)\leq \max\{d(x,z),d(z,y)\}$ (פונקציה כזו נקראת אולטרה-מטריקה). מטריקה היא אולטרה-מטריקה אם ורק אם כל משולש בה הוא שווה-שוקיים. הדוגמה המרכזית של מרחבים כאלה מתקבלת מהערכות לא ארכימדיות של שדות. אכן, כל מרחב אולטרה-מטרי ניתן לשיכון איזומטרי בשדה עם הערכה.

במרחב אולטרה-מטרי כל נקודה בכדור היא מרכז של הכדור. כל כדור הוא פתוח וסגור. אם שני כדורים אינם זרים, אז אחד מהם מוכל בשני. קבוצת המרחקים בהשלמה של מרחב אולטרה-מטרי שווה לקבוצת המרחקים במרחב המקורי (זאת בניגוד לסתם מרחב מטרי, שבו נוצרים בהשלמה בדרך כלל מרחקים חדשים).

מרחב טופולוגי שהטופולוגיה שלו מושרית על ידי אולטרה-מטריקה הוא מרחב אולטרה-מטריזבילי. מרחב טופולוגי הוא לא ארכימדי אם הוא האוסדורף ויש לו בסיס שבו כל שתי קבוצות שאינן מוכלות זו בזו הן זרות. מרחב הוא אולטרה-מטריזבילי אם ורק אם הוא מטריזבילי ולא ארכימדי. כל מכפלה בת-מניה של מרחבים אולטרה-מטריזביליים היא אולטרה-מטריזבילית.

קבוצת הכדורים מהווה בסיס של המרחב, ומכיוון שהכדורים במרחב אולטרה-מטרי הם פתוחים-וסגורים, המרחב בלתי קשיר לחלוטין (מאידך, מרחב מטרי שלם ובלתי קשיר לחלוטין אינו בהכרח אולטרה-מטריזבילי). מרחב טופולוגי הוא אולטרה-מטריזבילי וספרבילי אם ורק אם הוא האוסדורף, מקיים את תכונת המניה השנייה ויש לו בסיס של קבוצות פתוחות-וסגורות.

מרחב אולטרה-מטרי קומפקטי הוא שלם וספרבילי. כל חלוקה של מרחב כזה לקבוצות פתוחות-וסגורות מוכרחה להיות סופית. מרחב אולטרה-מטרי קומפקטי מקומית הוא איחוד של כדורים קומפקטיים. מרחב אולטרה-מטרי הוא ספרבילי אם ורק אם קבוצת הכדורים שלו בת מניה.

שלמות ספירית

מרחב מטרי הוא שלם אם החיתוך של סדרה מקוננת של כדורים שרדיוסם שואף לאפס אינו ריק. מרחב מטרי נקרא שלם-ספירית אם החיתוך של כל סדרה מקוננת של כדורים אינו ריק. כל מרחב שלם-ספירית הוא שלם. ההפך נכון אם 0 היא נקודת ההצטברות היחידה של ערכי המטריקה. מרחב אולטרה-מטרי קומפקטי הוא שלם-ספירית.

אחת התכונות החשובות ביותר של מרחבים מטריים שלמים היא העובדה שלכל פונקציה דוחסת (כזו המקיימת $\ d(f(x),f(y))<c\cdot d(x,y)$ לכל $\ x\neq y$, כאשר $c<1$) יש נקודת שבת יחידה. בדומה לזה, במרחב שלם-ספירית, אפילו לכל פונקציה מכווצת (כזו המקיימת $\ d(f(x),f(y))<d(x,y)$ לכל $\ x\neq y$) יש נקודת שבת יחידה.

לקריאה נוספת

• Summary on non-Archimedean valued fields, Angel Barria Comicheo and Khodr Shamseddine, Contemporary Mathematics 704, (2018). [1].

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

25016104מרחב אולטרה-מטרי