מערכת קוונטית בעלת שני מצבים

מערכת הניסוי של שטרן-גרלך

בפיזיקה קוונטית, מערכת שתי רמות או מערכת שני מצבים (באנגלית: Two-state quantum system) היא מערכת היכולה להמצא באחד משני מצבים נפרדים, או בסופרפוזיציה קוונטית שלהם. מערכת שתי רמות היא המערכת הקוונטית הפשוטה ביותר האפשרית, שכן מערכת בעלת רמה אחת היא בעלת פתרון בעל אופי דינאמי טריוויאלי, ולא קוונטי לפי הגדרה.

את מערכת שתי הרמות מגדירים כאמור שני מצבים קוונטיים, ולכן מרחב הילברט של המערכת נפרש על ידי בסיס בעל שני מצבים בלבד: $|\psi _{1}\rangle ,|\psi _{2}\rangle$ . לכן מערכת שתי רמות אינה יכולה לתאר נאמנה בעיות בעלות ספקטרום רציף כמו בעיות אוסצילטור הרמוני למיניהן.

מערכת שתי רמות מוכרת היא זו של חלקיקים בעלי ספין חצי שלם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{1}{2}} כמו המערכת ששימשה בניסוי המפורסם של שטרן-גרלך.

פתרון אנליטי למערכת שתי רמות סטציונרית

נציג את המצב הכללי במערכת זו כסופרפוזיציה של שני המצבים האורתונורמליים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi\rangle = c_1|\psi_1 \rangle + c_2|\psi_2 \rangle} כאשר המקדמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_1,c_2\in\mathbb{C}} מרוכבים.

מכיוון שהמצבים אורתונורמליים, מתקיים התנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle\psi_i|\psi_j\rangle = \delta_{ij}} , כשהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{ij}} היא הדלתא של קרונקר. ההסתברות למדידת מצב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi_i\rangle} נתונה על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_i = |\langle\psi_i|\psi\rangle|^2=|\langle\psi_i|c_1|\psi_1\rangle+\langle\psi_i|c_2|\psi_2\rangle|^2=|c_i|^2} .

אמפליטודת ההסתברות מוגדרת כ$a_{\alpha \beta }=\langle \psi _{\alpha }|\psi _{\beta }\rangle$ כך שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{\alpha\beta}=|a_{\alpha\beta}|^2} היא ההסתברות למדידת המצב הקוונטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi_\alpha\rangle} בהינתן המצב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi_\beta\rangle} .

חשוב לשים לב כי מכיוון שיכול להמדד רק אחד מהמצבים האורתונורמליים, הרי שלכל סופרפוזיציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi\rangle = c_1|\psi_1 \rangle + c_2|\psi_2 \rangle} חייב להתקיים תנאי הנרמול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_1+P_2=1 \Rightarrow |c_1|^2+|c_2|^2=1} .

לצורך נוחות החישוב והקריאה נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi_1\rangle=|1\rangle, |\psi_2\rangle=|2\rangle} .

כדי למצוא בצורה אנליטית את הגדלים המדידים של המערכת, יש למצוא את האופרטורים ההרמיטיים המייצגים אותם. לדוגמה, עבור האנרגיות של מערכת שתי רמות יש לרשום את האופרטור ההרמיטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} עבור ההמילטוניאן של המערכת בצורה הבאה: הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\mathcal {H}}_{ij}=\langle i|H|j\rangle } כך שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}_{ij}} הוא אלמנט מטריצה של האופרטור ההרמיטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}=\begin{pmatrix} \langle 1|H|1 \rangle & \langle 1|H|2 \rangle \\ \langle 2|H|1 \rangle & \langle 2|H|2 \rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathcal{H}_{11} & \mathcal{H}_{12} \\ \mathcal{H}_{12}^* & \mathcal{H}_{22} \end{pmatrix}} .

האנרגיות העצמיות והמצבים העצמיים של המערכת יתקבלו על ידי ליכסון של האופרטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} . משימה זו קלה יחסית מכיוון שאופרטור הרמיטי זה, כדי לקיים את הדרישה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}^\dagger=\mathcal{H}} , יהיה מהצורה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = \begin{pmatrix} \epsilon_1 & \beta-i\gamma\\ \beta+i\gamma & \epsilon_2\end{pmatrix}} , כאשר הקבועים במטריצה ממשיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon_1,\epsilon_2,\beta,\gamma\in\mathbb{R}} עם יחידות של אנרגיה, ו - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=\sqrt{-1}} הוא המספר המדומה. ניתן לפרק את ${\mathcal {H}}$ על ידי שימוש באופרטורי פאולי כדי לקבל צורה מוכרת: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}=\frac{\epsilon_1 + \epsilon_2}{2}\cdot\sigma_0 + \beta\cdot\sigma_x+\gamma\cdot\sigma_y+\frac{\epsilon_1-\epsilon_2}{2}\cdot\sigma_z} .

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_0 = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] = \mathbb{I} \quad, \sigma_x = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \quad, \quad \sigma_y = \left[ \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{matrix} \right] \quad, \quad \sigma_z = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] \quad} הן מטריצות פאולי והן אופרטורים הרמיטיים. ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}=\frac{\epsilon_1+\epsilon_2}{2}\cdot \sigma_0 +\vec{r}\cdot\vec{\sigma}} .

האנרגיות העצמיות של מערכת המוגדרת כך הן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathop{E_\pm}=\alpha\pm|\vec{r}|} כאשר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha=\frac{\epsilon_1+\epsilon_2}{2} \quad, \quad\vec{r}=(\beta,\gamma, \frac{\epsilon_1-\epsilon_2}{2})} . המצבים העצמיים המתאימים מסומנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |+\rangle,|-\rangle} בהתאמה.

פתרון עבור מערכת סטציונרית

עבור מערכת סטציונרית ההמילטוניאן אינו תלוי מפורשות בזמן, ולכן משוואת שרדינגר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\hbar \partial_t |\psi\rangle=\mathcal{H}|\psi\rangle} היא מד"ר פשוטה שפתרונה $|\psi (t)\rangle =e^{-i{\frac {\mathcal {H}}{\hbar }}t}|\psi (0)\rangle$.

האופרטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-i\frac{\mathcal{H}}{\hbar}t}} מכונה אופרטור ההתפתחות בזמן, והוא מתאר את הפאזה שצובר המצב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi(0)\rangle} כתלות בזמן.

נשים לב כי אם המצב ההתחלתי הוא מצב עצמי של המערכת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi(0)\rangle=|\pm\rangle} , ההתפתחות בזמן תהיה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi(t)\rangle = e^{-i\frac{\mathcal{H}}{\hbar}t}|\psi(0)\rangle=e^{-i\frac{\mathop{E_\pm}}{\hbar}t}|\pm\rangle} וההסתברות למדוד את המצב העצמי הנ"ל בזמן t כלשהו היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{\pm\pm}(t)=|\langle\pm|\psi(t)\rangle|^2=|\langle\pm|e^{-i\frac{\mathop{E_\pm}}{\hbar}t}|\pm\rangle|^2=|e^{-i\frac{\mathop{E_\pm}}{\hbar}t}|^2 \cdot|\langle\pm|\pm\rangle|^2=1 } , ולכן המצבים העצמיים של מערכת כזאת מכונים גם מצבים סטציונריים.

חשיבות

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

מכשיר MRI

מערכת שתי רמות מהווה את הבסיס למחשוב קוונטי. קיוביטים, שהם הביטים של מחשבים קוונטים, הם מערכת שתי רמות. כל פעולת חישוב קוונטית היא למעשה הפעלת אופרטור אוניטרי על קיוביט שמסובבת את המצב הקוונטי של הקיוביט על ספירת בלוך.

נקיפות לרמור קוונטיות הן פתרון של בעיית שתי רמות בשדה מגנטי משתנה בזמן, המכונה תהודה מגנטית גרעינית (NMR). מכשיר הMRI פועל על בסיס עקרון זה.

מבחינה פדגוגית, מערכת שתי רמות היא אחת מהבעיות הקוונטיות הפשוטות ביותר מתמטית לפתרון אנליטי, ויכולה להציג בעיות יסוד פשוטות כמו ניסוי שטרן-גרלך ובעיות מורכבות כמו אוסצילציות ניוטרינו.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מערכת קוונטית בעלת שני מצבים בוויקישיתוף

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

28584402מערכת קוונטית בעלת שני מצבים