קואורדינטות קוטביות
| מערכות צירים וקואורדינטות |
| מערכות צירים נפוצות |
| ראו גם |
קואורדינטות קוטביות או קואורדינטות פולריות הן תיאור של המישור באמצעות שני משתנים:
- r – המרחק מראשית הצירים.
- θ – הזווית שיוצר הווקטור המחבר בין הנקודה לראשית הצירים, עם הכיוון החיובי של ציר ה-x.
המעגלים הם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ r=1, \text{ } r=2, \text{ } r=3 .
הקווים הישרים הם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ \theta = 30^\circ,\ \theta=60^\circ וכן הלאה.
זאת בניגוד לקואורדינאטות קרטזיות, בהן כל נקודה מתוארת על ידי כמה היא "ימינה" מראשית הצירים (x) וכמה היא "למעלה" מראשית הצירים (y). תמיד ניתן להציג כל נקודה בדו מימד גם בקוארדינאטות קרטזיות וגם בקוארדינאטות קוטביות, אך נהוג להשתמש בקוארדינאטות קוטביות בסיטואציות שקשורות לדברים מסתובבים. לדוגמה, מיקום השמש בשמיים יהיה נוח יותר להצגה במרחק מכדור הארץ (שהוא פחות או יותר קבוע) והזווית שלה ביחס לאופק מאשר בקוארדינאטות קרטזיות.
קואורדינטות קוטביות הן מקרה פרטי של קואורדינטות גליליות עבור גובה = 0, ומקרה פרטי של קואורדינטות כדוריות עבור זווית לטידיוד = 90 מעלות.
המרה בין קואורדינטות קוטביות לקואורדינטות קרטזיות
עבור נקודה כללית (x,y) ניתן להמיר לקואורדינטות קוטביות על ידי:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ r = \sqrt{x^2 + y^2}
- $ \ \theta =\arctan({\frac {y}{x}}) $ (להמרה מדויקת יותר, ראו בהמשך).
לחלופין, כאשר נתונים (r,θ) אפשר להמיר לקואורדינטות קרטזיות על ידי:
- $ \ x=r\cos \theta $
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ y = r \sin \theta
מציאת הזווית
קל למצוא את הזווית באופן גרפי, אך חישובה באופן אלגברי מסובך יותר. ראשית, יש לקבוע אילו ערכים הזווית יכולה לקבל, כאשר עלינו לזכור שישנה מחזוריות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ 2 \pi מכיוון ש-θ מייצגת זווית.
בדרך כלל בוחרים לעבוד בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ [ 0, 2 \pi ) , כלומר, הזווית מקבלת ערכים בין 0 ל-2π (לא כולל 2π). אזי ניתן למצוא את הזווית לפי הנוסחה הבאה:
- $ \ \theta =\operatorname {arctan} \left({\tfrac {y}{x}}\right)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{if }}x>0{\mbox{ and }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\end{cases}} $
כאשר arctan היא הפונקציה ההופכית לפונקציה הטריגונומטרית טנגנס.
אם עובדים באינטרוול $ \ (-\pi ,\pi ] $, יש להשתמש בנוסחה הבאה:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ \theta = \operatorname{atan2}\left(\tfrac{y}{x}\right) = \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0 \end{cases}
הפונקציה המפוצלת הזאת נקראת לעיתים קרובות atan2 ("ארכטנגס 2") ורושמים $ \theta =\operatorname {atan2} (y/x) $.
וקטורי היחידה
בקואורדינטות קרטזיות אפשר לרשום את מיקומה של כל נקודה או וקטור כ:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ \vec{A} = A_x \hat{e}_x + A_y \hat{e}_y + A_z \hat{e}_z = A_x \hat{x} + A_y \hat{y}+A_z \hat{z}
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ \hat{e}_i (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): i = \{ x, y \} ) הם וקטורי היחידה הקרטזיים (וקטורים אלה קבועים). באופן גאומטרי, וקטורי היחידה x ו־y הם וקטורים המצביעים בכיוון החיובי של ציר x ו־y, בתאמה, וגודלם הוא 1.
אנו נרצה להציג באותה צורה את הנקודה שלנו גם בקואורדינטות קוטביות:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ \vec{A} = A_r \hat{e}_r + A_\theta \hat{e}_\theta
כאשר הווקטורים $ \ {\hat {e}}_{j} $ (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): j = \{ r, \theta \} ) נקראים "וקטורי היחידה הקוטביים".
אפשר לחשבם בכל נקודה במרחב (פרט לראשית) ולקבל שהם נתונים על ידי:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \hat{r} = \hat{e}_r = (\cos\theta) \hat{x} + (\sin\theta) \hat{y}
- $ {\hat {\theta }}={\hat {e}}_{\theta }=(-\sin \theta ){\hat {x}}+(\cos \theta ){\hat {y}} $
כלומר, וקטורים אלה אינם קבועים במרחב, אלא כיוונם משתנה בהתאם לנקודה.
קואורדינטות קוטביות ומספרים מרוכבים
כל מספר מרוכב ניתן לייצג כנקודה במישור המרוכב ולכן ניתן לבטאו באמצעות קואורדינטות קרטזיות:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ z = x + i y
או באמצעות קואורדינטות קוטביות
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ z = r \cos \theta + i r \sin \theta = r e^{i \theta}
כאשר המעבר האחרון נעשה לפי נוסחת אוילר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta והזווית נמדדת ברדיאנים.
באמצעות ההצגה הקוטבית קל לבצע כפל, חילוק וחזקות של מספרים מרוכבים.
- כפל:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)} \,
- $ \ {\frac {r_{0}e^{i\theta _{0}}}{r_{1}e^{i\theta _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\theta _{0}-\theta _{1})}\, $
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ (re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \,
קואורדינטות קוטביות בפיזיקה
לעיתים שימוש בקואורדינטות קוטביות יכול לפשט בעיות בפיזיקה. למשל, תנועה מעגלית מנותחת בקלות רבה על ידי הקואורדינטות הקוטביות. הפשטות והפתרון האלגנטי של בעיית שני הגופים, היא במידה רבה בזכות ההמרה של השאלה לבעיה בציר אחד במערכת הקואורדינטות הקוטביות.
בקינמטיקה, ניתן לתאר את וקטור ההעתק של גוף על ידי:
$ {\vec {r}}=r{\hat {r}} $
על ידי גזירה לפי הזמן נקבל תיאור גם למהירות ולתאוצה באופן הבא:
$ {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\hat {r}}} $
לפי כלל הגזירה למכפלה. כאשר נשים לב שלפי כלל השרשרת נקבל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \dot{\hat{r}}=\dot{\theta}(-\sin\theta,\cos\theta)=\dot{\theta}\hat{\theta}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \dot{\hat{\theta}}=\dot{\theta}(-\cos\theta,-\sin\theta)=-\dot{\theta}\widehat{r}
לכן נוכל לקבל תיאור קוטבי עבור מיקום, מהירות ותאוצה כך:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \vec{r}=r\hat{r}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \vec{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta}\hat{\theta}
$ {\vec {a}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {r}}+(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}){\hat {\theta }} $
עקומות בקואורדינטות קוטביות
המשוואה המגדירה עקומה אלגברית המבוטאת בקואורדינטות קוטביות נקראת "משוואה קוטבית" (Polar equation). במקרים רבים, ניתן לתארה בפשטות על ידי הגדרת $ \ r $ כפונקציה של הזווית θ. העקומה המתקבלת מורכבת מנקודות מהצורה $ \ \left(r\left(\theta \right),\theta \right) $ ואפשר להתייחס אליה כאל הגרף של הפונקציה הקוטבית $ \ r $.
ניתן להסיק צורות שונות של סימטריה מהמשוואה של הפונקציה הקוטבית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ r . אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ r(\theta) = r(-\theta) אזי העקומה תהיה סימטרית סביב ציר-x (הקרן (0°/180°)). אם $ \ r(\pi -\theta )=r(\theta ) $ אזי העקומה תהיה סימטרית סביב ציר y (הקרן (90°/270°)). אם $ \ r $(θ−α°) = הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ r (θ) העקומה תהיה סימטרית סביב הציר בזווית °α כנגד כיוון השעון.
בגלל הטבע המעגלי של מערכת קואורדינטות קוטביות, עקומות רבות ניתן לתאר באמצעות משוואה קוטבית די פשוטה, כאשר הצורה הקרטזית היא הרבה יותר מסובכת. בין העקומות הידועות מסוג זה נמנות הספירלה הארכימדית, השושן הקוטבי, הלמניסקטה של ברנולי, הלימצון והקרדיואיד.
עבור מעגל, קו ושושן קוטבי, אין הגבלה על התחום והטווח של העקומה.
מעגל
המשוואה הכללית עבור מעגל שמרכזו נמצא ב-($ \ $r0, φ) ורדיוסו a היא:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2\, .
ניתן לפשט משוואה זו עבור מקרים פרטיים, כמו:
- $ \ r(\theta )=a\, $
עבור מעגל שמרכזו בראשית הצרים ורדיוס a.
קו ישר
ישר העובר דרך ראשית הצירים ניתן לייצג באמצעות המשוואה:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ \theta = \varphi \, ,
כאשר φ היא זווית השיפוע של הקו (בנוסחה $ m=\tan \varphi $ כאשר m הוא השיפוע במשוואה בקואורדינטות קרטזיות).
המשוואה של ישר שאינו עובר דרך ראשית הצירים שניצב לישר θ = φ וחותך אותו בנקודה ($ \ r_{0} $, φ) היא:
- $ \ r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi )\, $.
שושן קוטבי
.PNG)
שושן קוטבי הוא עקומה מתמטית מפורסמת שנראית כמו עלי כותרת של פרח, וניתן לבטאה באמצעות משוואה קוטבית פשוטה:
- $ \ r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi _{0})\, $
לכל קבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ \phi_0 , כולל 0. אם k הוא מספר טבעי, המשוואה תיצור פרח עם k עלי כותרת כאשר k אי-זוגי ופרח עם 2k עלי כותרת כאשר k זוגי. אם k מספר רציונלי לא שלם, ייווצר פרח דמוי ורד שבו עלי הכותרת חופפים זה את זה. המשוואות לעולם לא מגדירות ורד עם 2, 6, 10, 14 וכו' עלי כותרת. המשתנה a מייצג את אורך עלי הכותרת של השושן.
ספירלת ארכימדס
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ r(\theta )=\frac{\theta }{2\pi } עבור $ \ 0<\theta <6\pi $
הספירלה הארכימדית היא ספירלה מפורסמת שהתגלתה בידי ארכימדס, אותה ניתן לבטא באמצעות משוואה קוטבית פשוטה. היא מתוארת על ידי המשוואה:
- $ \ r(\theta )=a+b\theta .\, $
שינוי הפרמטר $ a $ יסובב את הספירלה ואילו שינוי הפרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): b ישנה את המרחק בין הזרועות, שעבור ספירלה נתונה הוא תמיד קבוע. לספירלת ארכימדס יש 2 זרועות, אחת עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ \theta>0 ואחת עבור $ \ \theta <0 $. שתי הזרועות מתחברות באופן חלק בחלק. לקיחת תמונת המראה של זרוע אחת מעבר לקו תיצור את הזרוע השנייה.
מקרה פרטי של הספירלה הוא ההיפרבולה הקוטבית,
חתכי חרוט
- שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת: ערך מורחב – חתכי חרוט
חתך חרוטי עם מוקד אחד על ראשית הצירים והשני במקום אחר על הקרן 0° (כך שחצי הציר הראשי נמצא על ציר ה-x) מתוארת על ידי המשוואה:
- $ \ r={\ell \over {1+e\cos \theta }} $
כאשר e היא האקסצנטריות ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ \ell הוא חצי הלטוס רקטום (המרחק בציר y מהמוקד שנמצא על הציר הראשי אל העקומה). אם e > 1, המשוואה מגדירה היפרבולה, אם e = 1, היא מגדירה פרבולה, ואם e < 1 היא מגדירה אליפסה. המקרה הפרטי שבו e = 0 מגדיר מעגל עם רדיוס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ \ell .
ראו גם
קישורים חיצוניים
- קואורדינטות קוטביות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
- קואורדינטות קוטביות, באתר MathWorld (באנגלית)
קואורדינטות קוטביות39375419Q62494