זוגיות (מתמטיקה)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

מספר זוגי הוא מספר שלם, המתחלק בשתיים ללא שארית. מספר שלם שאינו מספר זוגי נקרא מספר אי־זוגי. לדוגמה, $2,4,-18,0$ הם מספרים זוגיים, ואילו 7 אינו זוגי אלא אי־זוגי. המספרים הזוגיים נקראים כך משום שאם בקבוצה יש מספר זוגי של עצמים, אז אפשר לחלק אותם לזוגות.

כשמחלקים מספר ב־ 2, השארית היא 0 אם המספר זוגי, ו־ 1 אם הוא אי־זוגי. התכונה של מספר להיות זוגי או אי־זוגי נקראת זוגיות. הזוגיות נקבעת, אם־כך, לפי השארית בחלוקה ל־ 2.

את קבוצת המספרים השלמים, $\mathbb {Z}$, ניתן לחלק לשתי קבוצות זרות:

• זוגיים: $\{2k:k\in \mathbb {Z} \}$
• אי־זוגיים: $\{2k-1:k\in \mathbb {Z} \}$

את קבוצת המספרים הזוגיים נהוג לסמן $2\mathbb {Z}$.

תכונת הזוגיות מוגדרת עבור המספרים השלמים, ואפשר להכליל אותה למספרים רציונליים (שבר מצומצם הוא זוגי אם המונה שלו זוגי). עבור מספרים ממשיים כלליים הזוגיות אינה מוגדרת.

תכונות אריתמטיות

חיבור וחיסור

±	מספר זוגי	מספר אי זוגי
מספר זוגי	מספר זוגי	מספר אי זוגי
מספר אי זוגי	מספר אי זוגי	מספר זוגי

כפל

×	מספר זוגי	מספר אי זוגי
מספר זוגי	מספר זוגי	מספר זוגי
מספר אי זוגי	מספר זוגי	מספר אי זוגי

חזקה

כל חזקה (במספר טבעי גדול מאפס) של מספר זוגי היא זוגית, וכל חזקה (במספר טבעי) של מספר אי־זוגי היא אי־זוגית.

חילוק

חילוק בין שני מספרים שלמים לא בהכרח יביא לנו מספר שלם, ויכול לצאת גם שבר (ולשברים אין תכונה של זוגיות או אי זוגיות), אך אם המנה היא מספר שלם, היא תהיה זוגית אם ורק אם למחולק יש יותר גורמים של 2 מאשר למחלק.

מבחני זוגיות

• מספר שלם הנתון בהצגה עשרונית הוא זוגי אם ורק אם ספרת האחדות שלו זוגית (כלומר, שווה ל־ 0, 2, 4, 6 או 8).
• עובדה זו נכונה בכל בסיס זוגי: המספר זוגי אם ורק אם ספרת האחדות זוגית. הסיבה לכך היא שכל ספרה שמעל לספרת האחדות תורמת כפולה של הבסיס, ולכן אינה משפיעה על הזוגיות. בהתאם לכך, מספר בינארי הוא זוגי אם ורק אם ספרת האחדות שלו היא 0, והוא אי־זוגי אם ורק אם ספרת האחדות שלו היא 1.
• בבסיס אי־זוגי, מספר הוא זוגי אם ורק אם סכום הספרות שלו זוגי.

המספר 2 הוא המספר הזוגי היחיד מבין אינסוף המספרים הראשוניים (כל השאר הם אי־זוגיים). השערת גולדבך, שהיא בעיה פתוחה בתורת המספרים, טוענת כי כל מספר זוגי גדול משתיים ניתן להצגה כסכום של שני מספרים ראשוניים.

קישורים חיצוניים

• זוגיות, באתר MathWorld (באנגלית)   

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

31993511זוגיות (מתמטיקה)