התורה הארגודית
תורת ארגודית (אנגלית: Ergodic Theory) היא תאוריה מתמטית בתחום של אנליזה ובפרט בתחום של אנליזה מודרנית ושל סטטיסטיקה ותורת הכאוס אשר מנסה לתת כלים ומדדים עבור "התנהגויות ארוכות טווח" של מערכת ידועה (דיטרמיניסטית) תחת אילוצים מתמטים שונים. בפרט בתורה הארגודית נחקרים תחומים כמו אנטרופיה, תוחלת, מרחבים משמרי מידה וכו'. כיום משתמשים בתורה ארגודית לחקר סטוכוסטי של תהליכים מתמטים ומדעיים למיניהם.
הגדרה
נאמר כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{K} = (X,\mathcal{B}, \mu, T)} מרחב משמר מידה היא ארגודית אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \in \mathcal{B}} אינווריאנטית (שמור) תחת T (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T^{-1}A = A} ) מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu (A) \in \{0,1\}}
כלומר באופן מילולי, מרחב משמר מידה היא ארגודית אם כל קבוצה שלא משתנה תחת T היא זניחה (בתרגום חופשי אינה מהותית) או ממידה 1 (בעלת גודל ולעיתים כל המרחב).
אפיונים שקולים לארגודיות
ישנם מכלול של אפיונים לכך שמרחב משמר מידה הוא ארגודית, בפרט נציג כאן חמישה אפיונים חשובים אשר מהם ניתן להסיק את השאר ומסקנות חשובות מהם
טענה יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{K} = (X,\mathcal{B}, \mu, T)} מרחב משמר מידה אזי התנאים הבאים שקולים:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{K}} היא ארגודית
- לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A,B\in \mathcal{B}} אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu(B\bigtriangleup T^{-1}B) = 0} אזיהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu (B) \in \{0,1\}} כאשר הסימון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigtriangleup} מסמן הפרש סימטרי בין A ל-B
- לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B \in \mathcal{B}} אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu(B) > 0 } אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu( \bigcup_{n \geq 0} T^{-n} B ) = 1} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T^{k}} מסמן את פעולת ההרכבה k פעמים
- לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A,B\in \mathcal{B}} אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu(B) > 0 } , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu(A) > 0 } אז לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N \in \mathbb{N} } מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu(A\cap T^{-N}B) > 0 }
- לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: X \rightarrow \mathbb{C} } שזו מדידה שהיא T-אינבריאנטית (שמורה) μ-כמעט תמיד (כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \circ T = f } μ-כ"ת) היא בהכרח קבועה μ-כ"ת
ישנם אפיונים נוספים למש"מ ולהיותו ארגודית אך אלו דורשים מסקנות וטענות נוספות
קישורים חיצוניים
- סיכום, האוניברסיטה העברית
- התורה הארגודית, באתר MathWorld (באנגלית)
