התורה הארגודית

תורת ארגודית (אנגלית: Ergodic Theory) היא תאוריה מתמטית בתחום של אנליזה ובפרט בתחום של אנליזה מודרנית ושל סטטיסטיקה ותורת הכאוס אשר מנסה לתת כלים ומדדים עבור "התנהגויות ארוכות טווח" של מערכת ידועה (דיטרמיניסטית) תחת אילוצים מתמטים שונים. בפרט בתורה הארגודית נחקרים תחומים כמו אנטרופיה, תוחלת, מרחבים משמרי מידה וכו'. כיום משתמשים בתורה ארגודית לחקר סטוכוסטי של תהליכים מתמטים ומדעיים למיניהם.

הגדרה

נאמר כי ${\mathfrak {K}}=(X,{\mathcal {B}},\mu ,T)$ מרחב משמר מידה היא ארגודית אם לכל $A\in {\mathcal {B}}$ אינווריאנטית (שמור) תחת T ( $T^{-1}A=A$ ) מתקיים $\mu (A)\in \{0,1\}$

כלומר באופן מילולי, מרחב משמר מידה היא ארגודית אם כל קבוצה שלא משתנה תחת T היא זניחה (בתרגום חופשי אינה מהותית) או ממידה 1 (בעלת גודל ולעיתים כל המרחב).

אפיונים שקולים לארגודיות

ישנם מכלול של אפיונים לכך שמרחב משמר מידה הוא ארגודית, בפרט נציג כאן חמישה אפיונים חשובים אשר מהם ניתן להסיק את השאר ומסקנות חשובות מהם

טענה יהי ${\mathfrak {K}}=(X,{\mathcal {B}},\mu ,T)$ מרחב משמר מידה אזי התנאים הבאים שקולים:

${\mathfrak {K}}$ היא ארגודית
לכל $A,B\in {\mathcal {B}}$ אם $\mu (B\bigtriangleup T^{-1}B)=0$ אזי $\mu (B)\in \{0,1\}$ כאשר הסימון $\bigtriangleup$ מסמן הפרש סימטרי בין A ל-B
לכל $B\in {\mathcal {B}}$ אם $\mu (B)>0$ אזי $\mu (\bigcup _{n\geq 0}T^{-n}B)=1$ כאשר $T^{k}$ מסמן את פעולת ההרכבה k פעמים
לכל $A,B\in {\mathcal {B}}$ אם $\mu (B)>0$ , $\mu (A)>0$ אז לכל $N\in \mathbb {N}$ מתקיים $\mu (A\cap T^{-N}B)>0$
לכל $f:X\rightarrow \mathbb {C}$ שזו מדידה שהיא T-אינבריאנטית (שמורה) μ-כמעט תמיד (כלומר $f\circ T=f$ μ-כ"ת) היא בהכרח קבועה μ-כ"ת