מספר קפרקר
מספר קַפְּרֵקַר הוא מספר טבעי, השווה לסכום הרישא והסיפא של הייצוג העשרוני של ריבועו. אפשר באותו אופן להגדיר מספרי קפרקר בכל בסיס אחר. המספרים קרויים כך על-שם המתמטיקאי ההודי דאטארייה רמאצ'אנדרה קפרקר.
בניסוח מדויק יותר, $ X $ הוא מספר קפרקר (בבסיס $ b $) אם אפשר לפרק $ X=A+B $ כך שמתקיים עבור שלם $ n $ כלשהו: $ \ X^{2}=A\cdot b^{n}+B $, כאשר $ \ B<b^{n} $.
תיאור מלא
Iannucci (ראו מקור להלן) הוכיח שמספרי קפרקר בבסיס b עם רישא באורך n עומדים בהתאמה מלאה לפירוקים של $ \ b^{n}-1 $ לגורמים זרים. היינו, אם $ \ b^{n}-1=dd' $ כאשר d ו- 'd זרים, ו- $ \ t $ הוא ההפכי של d מודולו 'd, המקיים $ \ 0<t<d' $, אז d*t הוא "מספר קפרקר", וכל מספר קפרקר מתקבל באופן הזה. כך אפשר לתרגם את כל הבעיות הקשורות למספרי קפרקר לשאלות על מחלקים של מספרים מן הצורה $ \ b^{n}-1 $.
דוגמאות
דוגמה: 9 הוא מספר קפרקר, מכיוון ש- 81 = 9² ו- 9 = 1 + 8. גם 95121 מקיים את אותה תכונה:
|
| מספר זה ניתן לפצל לשני המספרים |
|
| וכך חזרנו אל המספר המקורי. לכן 95121 הוא מספר קפרקר. |
בסימוני התיאור לעיל, $ \ 9999=d\cdot d' $ עבור d=2439 ו- d'=41, וההפכי הוא $ \ 41^{-1}\equiv 39{\pmod {2439}} $; המספר 95121 מתקבל כמכפלה $ \ 2439*39 $.
מספרי קפרקר הקטנים ביותר בבסיס 10 הם:
בבסיס בינארי, כל המספרים המשוכללים הזוגיים הם גם מספרי קפרקר.
קל להוכיח שכל מספר בבסיס b שהוא מהצורה $ \ b^{n}-1 $ הוא מספר קפרקר: $ \ (b^{n}-1)^{2}=b^{2n}-2b^{n}+1 $ ומספר זה ניתן לפצל לרישא $ \ b^{n}-2 $ ולסיפא 1, שסכומם הוא המספר המקורי $ \ b^{n}-1 $ (תכונה זו נשמטה מעיניו של קפרקר במאמר שבו הציג את המספרים לראשונה). לפיכך בכל בסיס קיימים אינסוף מספרי קפרקר.
קישורים חיצוניים
- מספר קפרקר, באתר MathWorld (באנגלית)
- D. R. Kaprekar, On Kaprekar numbers, Journal of Recreational Mathematics, 13 (1980-1981), 81-82.
- M. Charosh, Some Applications of Casting Out 999...'s, Journal of Recreational Mathematics 14, 1981-82, pp. 111-118
- Douglas E. Iannucci, The Kaprekar Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/iann2a.html
מספר קפרקר24879917Q1478274