מספר ציקלי

באופן ויזואלי מתקבלות מכפלותיו של מספר ציקלי (מעגלי) על ידי סידור ספרותיו במעגל וסיבוב המעגל

מספר ציקלי (בבסיס נתון) הוא מספר שלם בן $n$ ספרות באותו בסיס, שכל כפולה שלו במספר קטן מ־$n$ מתקבלת על ידי העברת ספרות מראש המספר אל זנבו. למספרים ציקליים קשר לשברים עשרוניים מחזוריים.

המספר הציקלי הקטן ביותר (בבסיס $b=10$) הוא 142857; אכן, הכפולות של המספר הזה הן

$285714\ ,\ 428571\ ,\ 571428\ ,\ 714285\ ,\ 857142$

כולן סיבובים של המספר עצמו. מספרים ציקליים גדולים יותר, כמו המספר הציקלי 0588235294117647, פותחים בכמה אפסים מובילים.

יש נוסחה המאפשרת לכתוב את כל המספרים הציקליים. לכל מספר ראשוני $p$ זר ל־10, יש למספר 10 סדר בחבורת אוילר של $p$ . הסדר הזה הוא $t$ החיובי הקטן ביותר עבורו $10^{t}\equiv 1{\pmod {p}}$ . לפי משפט אוילר, הסדר של 10 תמיד מחלק את $p-1$ . אומרים ש-10 יוצר של חבורת אוילר (של $p$) אם הסדר שלו הוא הערך המקסימלי האפשרי, כלומר $p-1$ .

מתברר שכל מספר ציקלי עשרוני הוא מהצורה ${\frac {10^{p}-1}{p}}$ (והכפולות של מספר זה) כאשר $p$ ראשוני זר ל-10, שעבורו 10 הוא יוצר של חבורת אוילר מסדר $p$ . המספרים הציקליים הראשונים מתקבלים עבור $p=7,17,19,23,29,47,59,61$ . אם 10 אכן יוצר את חבורת אוילר של $p$ , אז ההצגה העשרונית של ${\frac {1}{p}}$ היא מחזורית, עם מחזור באורך $p-1$ המהווה בעצמו מספר ציקלי. כך למשל ${\frac {1}{7}}=0.142857142857\ldots$ .

אם 10 אינו יוצר של חבורת אוילר, כמו במקרה של $p=13$ , שעבורו הסדר הוא 6 משום ש־$10^{6}-1=76923\cdot 13$ , מתקבל מספר "ציקלי למחצה": כל תמורה ציקלית של 076923 היא כפולה של המספר הזה, אבל לא כל כפולה היא תמורה ציקלית.