יתדון

יתדון טטרגונלי

יתדון רומבי

בגאומטריית המרחב, יתדון (disphenoid) הוא ארבעון, שכל פאותיו חופפות. לארבעון כזה יש שלושה זוגות נגדיים של צלעות שוות-אורך, וגם ארבע זוויותיו המרחביות חופפות.

יתדון שהפאות שלו הן משולשים שוני-צלעות נקרא רומבי, ויתדון שהפאות שלו שוות-שוקיים נקרא טטרגונלי. הארבעון המשוכלל הוא יתדון שבו הפאות הן שוות-צלעות.

חבורת הסימטריות של היתדון הרומבי היא חבורת הארבעה של קליין, והיא מאפשרת החלפה (יחידה) של כל זוג קודקודים. ליתדון הטטרגונלי יש אותן סימטריות מרחביות, אבל גם סימטריית שיקוף (שבגינה חבורת הסימטריות דיהדרלית, עם שמונה איברים). (חבורת הסימטריות המרחביות של הארבעון המשוכלל היא חבורת התמורות הזוגיות $\ A_{4}$, ועם שיקופים מתקבלת החבורה הסימטרית $\ S_{4}$).

תיאור אנליטי

נסמן ב-$\ v_{1},v_{2},v_{3}$ את וקטורי הצלעות היוצאות מקודקוד שנקבע בראשית הצירים. שאר הווקטורים הם $\ v_{1}-v_{2},v_{2}-v_{3},v_{3}-v_{2}$. חפיפת הפאות מאלצת אורכים שווים, כגון $\ ||v_{1}||=||v_{2}-v_{3}||$, ומכאן נובעים השוויונים $\ ||v_{i}||^{2}=v_{i}\cdot (v_{j}+v_{k})$ לכל i,j,k שונים. פתרון המשוואות מאפשר לתאר את המכפלות המעורבות על-פי ארכי הצלעות: $\ v_{i}\cdot v_{j}={\frac {1}{2}}(||v_{i}||^{2}+||v_{j}||^{2}-||v_{k}||^{2})$.

התנאי היחיד לקיום וקטורים $\ v_{1},v_{2},v_{3}$ עם מטריצה סימטרית $\ (v_{i}\cdot v_{j})_{i,j}$ נתונה של מכפלות פנימיות הוא שזו תהיה מטריצה חיובית לחלוטין. אם מניחים $\ ||v_{i}||=a_{i}$ עבור $\ a_{1},a_{2},a_{3}$ המקיימים את אי-שוויון המשולש $\ a_{k}<a_{i}+a_{j}$ (לכל סידור של המקדמים), אז הדטרמיננטות של המינורים הראשיים, $\ a_{1}^{2},{\frac {1}{4}}\sum _{i,j,k}(a_{i}+a_{j}-a_{k})(a_{i}+a_{k}-a_{j}),{\frac {1}{2}}\prod (a_{i}+a_{j}-a_{k})$, כולן חיוביות. מכאן שלכל משולש P יש יתדון שפאותיו חופפות ל-P.

המשוואות היסודיות מראות גם שאת הווקטורים $\ v_{1},v_{2}$ אפשר להשלים ליתדון, אם ורק אם $\ v_{1}\cdot v_{2}\leq \min\{||v_{1}||^{2},||v_{2}||^{2}\}$.

המקבילון הנוצר

המקבילון הנוצר על ידי יתדון טטרגונלי

כמו בכל ארבעון, המשכת שלוש הפאות היוצאות מקודקוד נתון של היתדון למקביליות בכיוון ההפוך, יוצרת מקבילון. את המקבילון אפשר לבנות משני יתדונים הפוכים (שפאותיהם חופפות, אך הם אינם איזומורפיים במרחב, אלא מהווים תמונת ראי זה של זה), ומתמניון שבסיסיו (בכל הפירוקים האפשריים לזוג פירמידות) מעוינים (בתמונה משמאל ניכרים מעוין כחול, שהוא ריבוע משום שהיתדון טטרגונלי, ומעוינים ירוק ואדום). עבור יתדון כללי, למקבילון המתקבל יש חבורת סימטריות מרחביות טריוויאלית.

ראו גם

• מקבילון