יציבות BIBO

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בעיבוד אותות, ובאופן ספציפי בתורת הבקרה, יציבות BIBO‏ (bounded-input, bounded-output; בתרגום לעברית: קלט חסום, פלט חסום) היא סוג של יציבות עבור אותות ומערכות המקבלים קלטים. מערכת יציבה במובן BIBO אם ורק אם פלט המערכת יהיה חסום עבור כל קלט חסום הנכנס למערכת.

אות חסום אם קיים ערך סופי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B > 0} כך שעוצמת האות לעולם אינה עולה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} . בניסוח מתמטי:

עבור אותות בזמן רציף : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(t) \iff \exists B \in \mathbb{R}^+ : |y(t)| \leq B \quad \forall t \in \mathbb{R}} חסום.
עבור אותות בזמן בדיד : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y[n] \iff \exists B \in \mathbb{R}^+ : |y[n]| \leq B \quad \forall n \in \mathbb{Z}} חסום.

תנאי תחום הזמן עבור מערכות ליניאריות בלתי תלויות בזמן

תנאי הכרחי ומספיק עבור זמן רציף

עבור מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן (LTI) בזמן רציף, התנאי ליציבות BIBO הוא שהתגובה להלם, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(t)} , תהיה אינטגרבילית לחלוטין, כלומר, נורמת L1 שלה קיימת.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \left|h(t)\right|\,\mathord{\operatorname{d}}t = \| h \|_1 \in \mathbb{R}}

תנאי מספיק עבור זמן בדיד

עבור מערכת LTI בזמן בדיד, התנאי ליציבות BIBO הוא שהתגובה להלם תהיה ניתנת לסכימה לחלוטין, כלומר, נורמת L1 שלה קיימת.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{n=-\infty}^\infty |h[n]| = \| h \|_1 \in \mathbb{R}}

הוכחת הדיוּת (sufficiency)

בהינתן מערכת LTI בזמן בדיד עם תגובה להלם הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle h[n]} , הקשר בין הקלט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x[n]} והפלט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y[n]} הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y[n] = h[n] * x[n]}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle *} מציין קונבולציה. וזו ההגדרה של קונבולציה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y[n] = \sum_{k=-\infty}^\infty h[k] x[n-k]}

יהא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \| x \|_{\infty}} הערך המקסימלי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x[n]|} , כלומר, נורמת ∞L

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|y[n]\right| = \left|\sum_{k=-\infty}^\infty h[n-k] x[k]\right|}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \le \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[n-k]\right| \left|x[k]\right|} (לפי אי שוויון המשולש)
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} & \le \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[n-k]\right| \| x \|_\infty \\ & = \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[n-k]\right| \\ & = \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[k]\right| \end{align} }

אם הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle h[n]} ניתן לסכימה לחלוטין אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|} = \| h \|_1 \in \mathbb{R}} וגם

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \| x \|_\infty \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[k]\right| = \| x \|_\infty \| h \|_1}

אז אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h[n]} ניתנת לסכימה ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|x[n]\right|} חסום, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|y[n]\right|} חסום גם משום ש־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \| x \|_{\infty} \| h \|_1 \in \mathbb{R}} .

ההוכחה לזמן רציף באה מגיעה מטיעונים דומים.

תנאי תחום התדר עבור מערכות ליניאריות בלתי תלויות בזמן

אותות זמן רציף

עבור מערכת רציונלית בזמן רציף, התנאי ליציבות הוא שתחום ההתכנסות (ROC) של התמרת לפלס של תגובת המערכת להלם כולל את הציר המדומה. כאשר המערכת היא סיבתית, ה-ROC הוא התחום הפתוח מימין לקו אנכי שהאבסיסה (abscissa) שלו היא החלק הממשי של "הקוטב הגדול ביותר", כלומר הקוטב שיש לו את החלק הממשי הגדול ביותר מכל קוטבי המערכת. החלק הממשי של הקוטב הגדול ביותר מגדיר את ה-ROC והוא נקרא האבסיסה של ההתכנסות. לפיכך, כל הקטבים של המערכת חייבים להיות בחצי השמאלי של מישור ה-s על מנת שהמערכת תהיה יציבה BIBO.

מצב יציבות זה יכול להיגזר מתנאי היציבות בתחום הזמן לעיל כדלקמן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \int_{-\infty}^\infty \left|h(t)\right| \, dt & = \int_{-\infty}^\infty \left|h(t)\right| \left| e^{-j \omega t }\right| \, dt \\ & = \int_{-\infty}^\infty \left|h(t) e^{-j \omega t} \right| \, dt \\ & \ge \left|\int_{-\infty}^\infty h(t) e^{-j \omega t} \, dt\right| \\ & = |H(j\omega)| \end{align} }

כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \| h \|_1 \ge |H(j\omega)| } , ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |H(j\omega)| \in \mathbb{R}} , כלומר שתחום ההתכנסות חייב אפוא לכלול את הציר המדומה – .

אותות זמן בדיד

עבור מערכת רציונלית בזמן בדיד, התנאי ליציבות הוא שתחום ההתכנסות (ROC) של התמרת ה־Z כולל את מעגל היחידה. כאשר המערכת היא סיבתית, ה-ROC הוא התחום הפתוח מחוץ למעגל שהרדיוס שלו הוא גודל הקוטב בעל הגודל הגדול ביותר. לכן, כל הקטבים של המערכת חייבים להיות בתוך מעגל היחידה במישור z עבור יציבות BIBO.

ניתן לגזור מצב יציבות זה באופן דומה לגזירת הזמן הרציף:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty \left|h[n]\right| & = \sum_{n = -\infty}^\infty \left|h[n]\right| \left| e^{-j \omega n} \right| \\ & = \sum_{n = -\infty}^\infty \left|h[n] (1\cdot {e^{j \omega}})^{-n} \right| \\ & \ge \left|\sum_{n = -\infty}^\infty h[n] (1\cdot {e^{j \omega}})^{-n} \right| \\ & = \left|\sum_{n = -\infty}^\infty h[n] z^{- n} \right| \\ & = \left|H[n]\right| \end{align} }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = r e^{j \omega}} ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r = |z| = 1} .

תחום ההתכנסות חייב אפוא לכלול את מעגל היחידה.

ראו גם

לקריאה נוספת

  • Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, מסת"ב 0-471-12465-6
  • John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, מסת"ב 0-13-373762-4
  • D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, מסת"ב 0-13-496456-X
  • Proof of the necessary conditions for BIBO stability.
  • Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577
  • Michael Unser (2020). "A Note on BIBO Stability". IEEE Transactions on Signal Processing. 68: 5904–5913. arXiv:2005.14428. doi:10.1109/TSP.2020.3025029.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

יציבות BIBO39994346Q744737

אוחזר מתוך "https://www.hamichlol.org.il/w/index.php?title=יציבות_BIBO&oldid=2818529"