מרחב מנה

ערך זה עוסק במרחב טופולוגי. אם התכוונתם למרחב מנה באלגברה ליניארית, ראו מרחב מנה (אלגברה ליניארית).

בטופולוגיה, מרחב מנה הוא מרחב טופולוגי שנוצר על ידי "צמצום" של מרחב טופולוגי על ידי פונקציה, יחס שקילות או פעולת חבורה. הטופולוגיה של מרחב המנה עבור פונקציה, יחס שקילות או חבורה פועלת נתונים, נקראת טופולוגיית המנה.

הגדרות

הגדרה על ידי פונקציה

בהינתן מרחב טופולוגי $\left(X,\tau _{X}\right)$ וקבוצה $Y$ (שעליה אין בהכרח טופולוגיה), עם פונקציה $\ f:X\rightarrow Y$ שהיא על, נגדיר טופולוגיה על $Y$ על ידי $\ \tau _{Y}=\left\{U\subset Y:f^{-1}(U)\in \tau _{X}\right\}$ . טופולוגיה זו נקראת טופולוגיית המנה, ופונקציה כזו נקראת פונקציית מנה. בדרך זו אנו מכריחים את הפונקציה להיות רציפה, על ידי בניית טופולוגיה מתאימה על המרחב השני: טופולוגיית המנה על Y היא הטופולוגיה העשירה ביותר שבעבורה f רציפה. כלומר, אם $X,Y$ שניהם מרחבים טופולוגיים ו- $f:X\to Y$ רציפה, אז הטופולוגיה הנתונה של $Y$ עשויה להיות דלה יותר מטופולוגיית המנה.

כאשר $X$ מרחב קומפקטי ו- $Y$ מרחב האוסדורף, ו- $f$ פונקציה רציפה ועל, אז הטופולוגיה של Y היא טופולוגיית המנה עבור $f$ .

הגדרה על ידי יחס שקילות

דרך נוספת להגדרת טופולוגיית המנה היא על ידי יחס שקילות. אם X מרחב טופולוגי שמוגדר עליו יחס שקילות $R$ , מרחב המנה הוא קבוצת מחלקות השקילות ביחס $R$ , אותה נסמן $X/R$ , כאשר הטופולוגיה עליה מתקבלת כמו בהגדרה לעיל על ידי פונקציה, עבור פונקציית ההטלה למחלקות השקילות. כלומר, $\tau _{X/R}=\left\{U\subset X/R\mid p^{-1}\left(U\right)\in \tau _{X}\right\}$ , כאשר $p:X\to X/R$ היא הפונקציה $p\left(x\right)=\left[x\right]=\left\{y\in X\mid xRy\right\}$ .

דוגמאות

עיגול במישור הופך לספירה (במרחב התלת-ממדי) על ידי כיווץ השפה שלו (המעגל) לנקודה אחת.

הספירה הדו-ממדית $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ ניתנת להצגה כמרחב מנה של הכדור היחידה במישור $D^{1}$ , על ידי יחס השקילות המזהה את כל שפתו של $D^{1}$ עם נקודה יחידה (למשל הקוטב הצפוני). בנייה זו מדגימה כיצד פעולת מנה אינה משמרת תכונות גאומטריות; בעוד שהעיגול ניתן לשיכון במישור, לאחר פעולת המנה מתקבלת ספירה דו-ממדית אותה כבר ניתן לשכן רק במרחב התלת-ממדי.
המרחב הפרויקטיבי $\mathbb {FP} ^{n}$ הוא מרחב מנה של $\mathbb {F} ^{n}$ המתקבל על ידי יחס השקילות ${\vec {x}}\sim \lambda {\vec {x}}$ לכל ${\vec {x}}\in \mathbb {F} ^{n}$ ולכל סקלר $\lambda \neq 0$ .