לוגריתם

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

לוגריתמים בבסיסים שונים: אדום הוא בבסיס e, צהוב בבסיס 2, כחול בבסיס 1/2. לוגריתמים בכל הבסיסים עוברים דרך הנקודה (1,0), שכן כל מספר בחזקת 0 הוא 1.

לוגריתם (Logarithm) הוא פונקציה הפוכה לפונקציה המעריכית. הפונקציה מסומנת באותיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log} . פעולה זו מוצאת את החזקה בהינתן בסיס ותוצאה, כלומר היא עונה על השאלה "באיזו חזקה נצטרך להעלות מספר נתון כדי לקבל מספר נתון אחר?". לוגריתם של a לפי בסיס b נכתב $\log _{b}a$.

הגדרה

כאמור, הלוגריתם של $x$ בבסיס נתון $\ b$ (הגדול מאפס ושונה מ-1 ובהתאם x חיובי), הוא החזקה שבה יש להעלות את $\ b$ כדי לקבל את $\ x$.
אם $\ b>0$ ו־$\ b^{y}=x$, נאמר ש־$\ y$ הוא לוגריתם של $\ x$ לפי בסיס $\ b$, ונכתוב זאת: $\ y=\log _{b}x$.

כך, הזהות הלוגריתמית היסודית היא: $\ b^{log_{b}x}=x$.

דוגמה: $\ \log _{10}100=2$, משום ש- $\ 100=10^{2}$.

ובמילים: הלוגריתם של $\ 100$ לפי בסיס $\ 10$ הוא $\ 2$, משום ש־$\ 10$ בחזקת $\ 2$ שווה ל־$\ 100$.

בסיס ברירת המחדל:

שימוש בסימון $\ \log$ ללא ציון הבסיס עלול לבלבל מעט, משום שמשמעותו משתנה לפי ההקשר:

• בטקסטים מתמטיים משמעותו $\ \log _{e}$ (הלוגריתם הטבעי, שבסיסו מספר אוילר). נהוג לכתוב פונקציה זו בקיצור $\ \ln$.
• בטקסטים הנדסיים משמעותו $\ \log _{10}$.
• בטקסטים שעוסקים במדעי המחשב משמעותו $\ \log _{2}$, לעיתים נכתב בקיצור $\ {\mbox{lb}}$.

רקע היסטורי

הלוגריתמים הוכנסו לשימוש בתחילת המאה ה-17 על ידי ג'ון נפייר. עד להחלפתם על ידי המחשב והמחשבון, בחצי השני של המאה ה-20, היו הלוגריתמים כלי עזר עיקרי לחישוב, באמצעות לוח לוגריתמים ובאמצעות סרגל חישוב. הרעיון הבסיסי מאחורי שני עזרי חישוב אלה הוא הכלל לפיו לוגריתם של מכפלה שווה לסכום הלוגריתמים של כל אחד מאיברי המכפלה. כלל זה מאפשר להחליף פעולת כפל, שהיא פעולה מורכבת יחסית, בפעולת החיבור הפשוטה יותר. בכלים אלה נעשה שימוש בלוגריתמים לפי בסיס $\ 10$.

חוקי הלוגריתמים

החוקים המפורטים להלן נכונים לכל $\ a,b,c$ ממשיים חיוביים, ובתנאי שבסיס הלוגריתמים שונה מ־1.

ערכים מיוחדים	$\ \log _{a}(1)=0$ $\ \log _{a}(a)=1$
כפל, חילוק והעלאה בחזקה חוקים אלו יכולים להקל על חישובי כפל, חילוק, חזקה ושורש, באמצעות לוח לוגריתמים או סרגל חישוב.	$\ \log _{c}(a\cdot b)=\log _{c}(a)+\log _{c}(b)$ $\ \log _{c}\left({\frac {a}{b}}\right)=\log _{c}(a)-\log _{c}(b)$ $\ {\log _{a}b}\cdot {\log _{c}d}={\log _{c}b}\cdot {\log _{a}d}$ לכל $\ r$ ממשי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log _c (a^r) = r\cdot \log _c (a)}
הלוגריתם והפונקציה המעריכית חוקים אלו שימושיים לפתרון משוואות בהן הנעלם הוא מעריך של חזקה.	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^{\log_a b}=b^{\log_a x}} הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{\log_a b}=b} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r} ממשי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log_a a^r=r}
שינוי בסיס הלוגריתם חוק זה שימושי להמרת לוגריתמים במחשבונים. לרוב המחשבונים יש לחצנים לחישוב לוגריתם טבעי (ln) ולוגריתם בבסיס 10 (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log_{10}} ), אבל לא לבסיס 2 (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log_{2}} ). כדי לחשב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log_{2} 100} , מחשבים $\ {\frac {\log _{10}100}{\log _{10}2}}$ או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{\ln{100}}{\ln{2}}} , שנותן תוצאה זהה.	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}} הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log_a b=\frac{1}{\log_b a}}
גבולות	כאשר a > 1: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lim_{x\to0} \log_a (x) = -\infty} כאשר a < 1: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lim_{x\to0} \log_a (x) = \infty} כאשר a > 1: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) = \infty} כאשר a < 1: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) = -\infty} הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lim_{x\to0} \log_a (x) \cdot x^b = 0} הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) / x^b = 0}
נגזרת	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {d \over dx} \log_a (x) = \frac{1}{\ln(a)} {1 \over x}}
אינטגרל	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \int \log_a (x)\, dx = x \log_a (x) - \frac{x}{\ln(a)} + C}

שיטות לחישוב לוגריתמים

האלגוריתם של פיינמן

ריצ'רד פיינמן המציא אלגוריתם המאפשר לחשב לוגריתמים בקלות יחסית באמצעות שימוש בתהליך שדומה מאד לחילוק ארוך ובטבלת ערכים לוגריתמיים מוכנים, שהוא שימושי מאד במכונות חישוב בינאריות. הרעיון של האלגוריתם מתבסס על העובדה שכל מספר ממשי בטווח בין 1 ל-2 ניתן לפירוק לגורמים מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1 + 2^{{-k}})} באופן יחיד. האלגוריתם בונה מכפלות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} באופן סדרתי: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P \cdot (1 + 2^{-k}) < x} , אז משנים את P ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P^* = P \cdot (1 + 2^{-k}) } . לאחר מכן בוחנים אם הגורם הבא בפיתוח של המספר הממשי לפירוק לגורמים הוא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1 + 2^{{-(k+1)}})} . אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P^*\cdot (1 + 2^{{-(k+1)}})<x } אז גילינו עוד גורם בפירוק של x לגורמים. האלגוריתם מפסיק כאשר k גדול מספיק כדי להשיג את הדיוק הדרוש. כיוון ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log(x)} הוא סכום של איברים מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log(1 + 2^{-k})} אשר הופיעו בפירוק לגורמים של x, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log(x)} ניתן לחישוב בעזרת חיבור פשוט, בעזרת טבלת ערכים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log(1 + 2^{-k})} עבור כל ערכי k.

הערה: האלגוריתם אינו תחליף לשיטות האנליטיות הרגילות (למשל טורים אינסופיים), שכן אינו מספק שיטה לחשב את הערכים הלוגריתמיים היסודיים, כך שלא ניתן "לדלג" על פיתוח טכניקות "עמוקות" יותר.

הממוצע האריתמטי-גאומטרי

הממוצע האריתמטי-גאומטרי מספק קירובים מהירים ועתירי דיוק ללוגריתם הטבעי. החוקרים Sasaki ו-Kanada הראו ב-1982 שקירובים המבוססים על הממוצע האריתמטי גאומטרי מהירים מיוחד עבור דיוק בין 400 ל-1000 ספרות עשרוניות, בעוד ששיטות המבוססות על טור טיילור הן מהירות יותר כאשר נדרש פחות דיוק. בעבודתם (ln(x מקורב לדיוק של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{{-p}}} בעזרת הנוסחה הבאה (אודות לקרל פרידריך גאוס):

$\ln(x)\approx {\frac {\pi }{2M(1,2^{2-m}/x)}}-m\ln(2)$

כאשר m נבחר כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \,2^m > 2^{p/2}\, } כדי להבטיח את הדיוק הדרוש.

ראו גם

• סקאלה לוגריתמית
• לוגריתם חוזר
• פונקציה מעריכית

קישורים חיצוניים

• צחי אבנור, לוגריתם - הגדרות, תכונות והוכחות (קובץ PDF על שרת ויקיפדיה)
• How I Feel About Logarithms – סרטון הסבר של Vi Hart על לוגריתמים (באנגלית)