בתורת החבורות, חבורת הייזנברג היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל
, עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות.
החבורה נקראת על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג. לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות. מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בבחקר תכונות של חבורות-p.
הגדרה
יהי
חוג חילופי. חבורת הייזנברג (מממד 3) מעל החוג
היא החבורה המכילה את המטריצות
כאשר
. הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה.
המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל:
ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים
יהיו הפיכים בעצמם):
דוגמאות
חבורת הייזנברג הממשית
כאשר לוקחים את החוג
להיות שדה המספרים הממשיים
, מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה.
במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר.
חבורת הייזנברג הבדידה
כאשר בוחרים את החוג
להיות חוג המספרים השלמים
, מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית. זוהי חבורה נילפוטנטית, אשר נוצרת על ידי שני האיברים:
אם מסמנים
, לחבורה מתקבלים היחסים הבאים:
.
במקרה זה, האיבר
יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה
.
מעל שדה סופי
חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי
היא מסדר
ומאקספוננט
. ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים:
חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות(אנ') - חבורת-p בה המרכז
איזומורפי ל-
וחבורת המנה
היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר
.
במקרה של
, מתקבלת החבורה הדיהדרלית
.
אלגברת לי המתאימה
לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות:
,
עם הבסיס הבא:
איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית:
ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה.
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] חבורת הייזנברג28201536