חבורת הייזנברג
בתורת החבורות, חבורת הייזנברג היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3 \times 3} , עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות.
החבורה נקראת על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג. לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות. מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בבחקר תכונות של חבורות-p.
הגדרה
יהי חוג חילופי. חבורת הייזנברג (מממד 3) מעל החוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} היא החבורה המכילה את המטריצות
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 &b \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}}
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c \in R} . הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה.
המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a' & c'\\ 0 & 1 & b'\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & a+a' & c+c'+ab'\\ 0 & 1 & b+b'\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}\,}
ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c \in R} יהיו הפיכים בעצמם):
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -a & ab-c\\ 0 & 1 & -b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}\,}
דוגמאות
חבורת הייזנברג הממשית
כאשר לוקחים את החוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} להיות שדה המספרים הממשיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} , מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה.
במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר.
חבורת הייזנברג הבדידה
כאשר בוחרים את החוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} להיות חוג המספרים השלמים , מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית. זוהי חבורה נילפוטנטית, אשר נוצרת על ידי שני האיברים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix},\ \ y=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}}
אם מסמנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}} , לחבורה מתקבלים היחסים הבאים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z^{}_{}=[x,y],\ [x,z] = e,\ [y,z] = e } .
במקרה זה, האיבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}=y^bz^cx^a\,} .
מעל שדה סופי
חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}_{p}} היא מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^{3}} ומאקספוננט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} . ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=[x,y],\ x^p=y^p=z^p=1,\ [x,z]=e,\ [y,z]=e }
חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות(אנ') - חבורת-p בה המרכז איזומורפי ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}_p} וחבורת המנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G/C} היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} .
במקרה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=2} , מתקבלת החבורה הדיהדרלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_4} .
אלגברת לי המתאימה
לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & a & b\\ 0 & 0 & c\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}} ,
עם הבסיס הבא:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix};\quad Y=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix};\quad Z=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} }
איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0}
ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה.
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] חבורת הייזנברג28201536