חבורה שלמה
בתורת החבורות, חבורה שלמה היא חבורה שהמרכז שלה טריוויאלי, וכל אוטומורפיזם שלה הוא פנימי, כלומר, מן הצורה $ \gamma _{g}:x\mapsto gxg^{-1} $ עבור איבר קבוע $ g $ בחבורה. אם $ G $ היא חבורה כזו, אז יש איזומורפיזם טבעי מ-$ G $ לחבורת האוטומורפיזמים שלה, $ \operatorname {Aut} (G) $, המוגדר לפי $ g\mapsto \gamma _{g} $.
לדוגמה, החבורות הסימטריות $ S_{n} $ הן שלמות לכל $ n\neq 2,6 $. אם $ S $ חבורה פשוטה לא אבלית סופית, אז $ A=\operatorname {Aut} (S) $ שלמה, כלומר $ \operatorname {Aut} (\operatorname {Aut} (S))\cong \operatorname {Aut} (S) $. לפי משפט של Dyer-Formanek (1974), חבורת האוטומורפיזמים של חבורה חופשית לא אבלית מדרגה סופית היא שלמה.
התכונה החשובה ביותר של חבורות שלמות כרוכה בהתנהגות שלהן כתת-חבורות נורמליות בחבורות אחרות. אם $ K $ תת חבורה נורמלית של $ G $, ו-$ K $ שלמה, אז $ K $ היא מרכיב ישר של $ G $, כלומר, קיים פירוק של $ G $ כמכפלה ישרה $ G\cong K\times H $. גם ההפך נכון: אם חבורה $ K $ אינה יכולה להופיע כתת-חבורה נורמלית של חבורה $ G $ בלי להיות מרכיב ישר שלה, אז היא שלמה.
ראו גם
חבורה שלמה29987769