חבורה שלמה

בתורת החבורות, חבורה שלמה היא חבורה שהמרכז שלה טריוויאלי, וכל אוטומורפיזם שלה הוא פנימי, כלומר, מן הצורה $\ \gamma _{g}:x\mapsto gxg^{-1}$ עבור איבר קבוע g בחבורה. אם G היא חבורה כזו, אז יש איזומורפיזם טבעי מ- G לחבורת האוטומורפיזמים שלה, $\ \operatorname {Aut} (G)$, המוגדר לפי $\ g\mapsto \gamma _{g}$.

לדוגמה, החבורות הסימטריות $\ S_{n}$ הן שלמות לכל $\ n\neq 2,6$. אם S חבורה פשוטה לא אבלית סופית, אז $\ A=\operatorname {Aut} (S)$ שלמה, כלומר $\ \operatorname {Aut} (\operatorname {Aut} (S))\cong \operatorname {Aut} (S)$.

התכונה החשובה ביותר של חבורות שלמות כרוכה בהתנהגות שלהן כתת-חבורות נורמליות בחבורות אחרות. אם K תת חבורה נורמלית של G, ו- K שלמה, אז K היא מרכיב ישר של G, כלומר, קיים פירוק של G כמכפלה ישרה $\ G\cong K\times H$. גם ההיפך נכון: אם חבורה K אינה יכולה להופיע כתת-חבורה נורמלית של חבורה G בלי להיות מרכיב ישר שלה, אז היא שלמה.

ראו גם

• חבורת האוטומורפיזמים