פעולה טרנזיטיבית

בתורת החבורות, פעולה טרנזיטיבית היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה $G$ פועלת על הקבוצה $X$. אם לכל שתי נקודות $x,y\in X$ קיים איבר $g\in G$ המעביר את $x$ ל-$y$, אז הפעולה היא פעולה טרנזיטיבית.

במקרים רבים לקבוצה $X$ יש מבנה נוסף (כגון אם $X$ הוא גרף או מרחב מטרי). מן העובדה שקיימת חבורה $G$ הפועלת על $X$ באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה), כשלעצמה, נובע שכל הנקודות של $X$ דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש-$X$ מרחב הומוגני (אם $X$ הוא גרף, הוא נקרא גרף טרנזיטיבי).

פעולה טרנזיטיבית מתוארת באופן מלא על ידי המייצב של נקודה, שהוא תת-החבורה $G_{x}=\{g\in G:g(x)=x\}$. כל המייצבים צמודים זה לזה, והקבוצה $X$ איזומורפית (כקבוצה עם פעולה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} ) למרחב הקוסטים $G/G_{x}$. המייצב הוא תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם הפעולה פרימיטיבית.

טרנזיטיביות מסדר גבוה

כאשר החבורה $G$ פועלת על קבוצה $X$, היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של $X$ עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} . הפעולה מוגדרת לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x_1,\dots,x_k)=(g(x_1),\dots,g(x_k))} , כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X^k} את האלכסון המוכלל ומשאירים רק את הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X^{[k]}} של הווקטורים באורך $k$ שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצוידת בפעולה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} , המכלילה את פעולתה על הרכיבים.

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} פועלת באופן טרנזיטיבי על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X^{[k]}} , אז הפעולה שלה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} היא פעולה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} -טרנזיטיבית. ניסוח אחר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} פועלת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} -טרנזיטיבית על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1,\dots,x_k} שונים זה מזה, ולכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_1,\dots,y_k} שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x_i)=y_i} . אם יש בחבורה איבר יחיד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} כנ"ל, אז הפעולה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} -טרנזיטיבית חדה. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה. (פעולה 2-טרנזיטיבית היא תמיד פרימיטיבית).

לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n} על הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{1,\dots,n\}} היא פעולה n-טרנזיטיבית (חדה), בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_n} על אותה קבוצה היא (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-2} )-טרנזיטיבית (חדה). כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m<n-1} , הפעולה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n} היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} -טרנזיטיבית אבל אינה חדה.

פעולה על קבוצה אינסופית

פעולה על קבוצה אינסופית נקראת טרנזיטיבית במידה רבה (highly transitive) אם היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} -טרנזיטיבית לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} , ואוליגומורפית אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} יש מספר סופי של מסלולים של קבוצות בגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} .

מיון של פעולות טרנזיטיביות

טרנזיטיביות מדרגה ראשונית

יש ארבעה סוגים של פעולות טרנזיטיביות על קבוצה מסדר ראשוני. (1) החבורה הסימטרית וחבורת התמורות הזוגיות. (2) תת-חבורות של חבורת ההעתקות האפיניות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ AGL_1(p)} המכילות את החבורה החיבורית של השדה. (3) תת-חבורות של החבורה הליניארית המוכללת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P\Gamma{}L_n(p)} המכילות את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ PSL_n(p)} במקרים שבהם הסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (p^n-1)/(p-1)} של המרחב הפרויקטיבי עליו פועלת החבורה הוא מספר ראשוני. (4) שלושה מקרים ספורדיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ PSL_2(11)} בהצגה (לא סטנדרטית) מדרגה 11, וחבורות מתיו $\ M_{11}$ ו-$\ M_{23}$.

טרנזיטיביות מסדר גבוה

מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. ב-1873 הוכיח Jordan שהחבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי חד הן $S_{4},S_{5},A_{6}$ וחבורת מתיו $M_{11}$; שהחבורות היחידות הפועלות באופן 5-טרנזיטיבי חד הן $S_{5},S_{6},A_{7}$ וחבורת מתיו $M_{12}$, ושהחבורות היחידות הפועלות באופן $k$-טרנזיטיבי חד, עבור $k\geq 6$, הן $S_{k},S_{k+1},A_{k}$.

ב-1936 הראה Zassenhaus שהחבורות היחידות הפועלות באופן 3-טרנזיטיבי חד הן $\operatorname {PGL} _{2}(q)$ (לכל חזקת-ראשוני $q$), ו-$M(q)$ (לכל חזקת-ראשוני שהיא ריבוע אי-זוגי); $M(q)$ היא תת-חבורה של $\operatorname {PGL} _{2}(q)\cdot \langle \sigma \rangle$ המכילה את $\operatorname {PSL} _{2}(q)$.

כתוצאה ממיון החבורות הפשוטות הסופיות, ידוע היום שפרט לחבורות $S_{n}$ ו-$A_{n}$, החבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי הן ארבע מבין חמש חבורות מתיו (היינו: $M_{11}$ ו-$M_{23}$ הן 4-טרנזיטיביות, ו-$M_{12}$ ו-$M_{24}$ הן 5-טרנזיטיביות) .

ראו גם

• חבורת תמורות
• פעולה פרימיטיבית

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

31689452פעולה טרנזיטיבית