זווית הקבלה

אם הזווית B ישרה והקווים Aa ו-Bb הם מקבילים גבוליים (limiting parallels), אז הזווית בין Aa ל-AB היא זווית ההקבלה.

בגאומטריה היפרבולית, זווית ההקבלה (באנגלית: Angle of parallelism), שסימונה המקובל הוא $\Pi (a)$, היא הזווית בקודקוד אחד של משולש היפרבולי ישר-זווית ששתיים מצלעותיו הן מקבילים אסימפטוטיים. זווית זו תלויה באורך המקטע a שמחבר את הקודקוד של הזווית הישרה עם הקודקוד של זווית ההקבלה.

בהינתן נקודה מחוץ לישר, אם מורידים אנך לישר מהנקודה, אז a הוא המרחק לאורך המקטע האנכי הזה, ו-φ או $\Pi (a)$ היא הזווית הקטנה ביותר בה הקו המשורטט מהקודקוד בזווית הזו אינו חותך את הישר הנתון. מכיוון ששתיים מצלעות המשולש הן מקבילים אסימפטוטיים, מתקיים:

$\lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi \quad {\text{ and }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi (a)=0.$

ישנם חמישה ביטויים מתמטיים שקולים שקושרים את $\Pi (a)$ עם a:

$\sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\cosh a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,$

$\cos \Pi (a)=\tanh a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,$

$\tan \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\sinh a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}\ ,$

$\tan \left({\tfrac {1}{2}}\Pi (a)\right)=e^{-a},$

$\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} (a),$

כאשר sinh, cosh, tanh, ו-sech הן פונקציות היפרבוליות ו-gd היא פונקציית גודרמניאן.

היסטוריה

המונח זווית ההקבלה והנוסחאות המקושרות אליו הוצג ופותח בהרחבה ב-1840 בחיבור "חקירות גאומטריות על התאוריה של קווים מקבילים" של המתמטיקאי ניקולאי לובצ'בסקי, ממגלי הגאומטריה הלא-אוקלידית. יאנוש בולאי גילה בנייה גאומטרית אלגנטית ממנה ניתן לגזור את הנוסחה לזווית ההקבלה.

כעשור לפניו, קרל פרידריך גאוס הציג בכתב לא מפורסם קצר "התאוריה של קווים מקבילים" הגדרה זהה; הוא הגדיר ישר מקביל גבולי דרך נקודה מחוץ לישר נתון כחתך בין הישרים שפוגשים את הישר הנתון לישרים שלא פוגשים אותו. באותו חיבור הוא גם הוכיח כי תכונת ההקבלה היא חילופית (סימטרית) וטרנזיטיבית - עובדות טריוויאליות בגאומטריה אוקלידית, אולם שמצריכות הוכחה דקדקנית בגאומטריה אחרת. פרטי ההוכחה טריקיים מאוד, ועשו שימוש ברעיונות המאוחרים יותר של מוריץ פש (Pasch).

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

22729586זווית הקבלה