וריאציית הפרמטר

וריאצית הפרמטר (או וריאציית הפרמטרים) במתמטיקה, היא שיטה לפתירת משוואות דיפרציאליות לינאריות רגילות וחלקיות באופן שיטתי.

שכיח יותר לפתור משוואות ממעלה ראשונה באמצעות שיטת "גורם אינטגרציה" או בשיטת "השוואת מקדמים" משום ששיטות אלו דורשות פחות מאמץ. אך בניגוד לשיטת וריאצית הפרמטר, הן לעיתים דורשות לעשות שימוש ב"ניחוש מושכל" של הצבות (היוריסטיקה) והן גם לא פותרות באופן שיטטתי כל מד"ר.

היסטוריה

שיטת וריאציית הפרמטר הוצגה לראשונה במאה ה-18 על ידי המתמטיקאי השוויצרי לאונרד אוילר והשלים אותה המתמטיקאי האיטלקי- ז'וזף לואי לגרנז'.

דוגמאות

מד"ר מסדר ראשון

נתונה משוואה דיפרצניאלית מסדר ראשון. נסדר אותה באופן הבא, כשהיא "מנורמלת" (מקדם $y'$ ערכו 1):

$y'+p(x)y=q(x)$

הפתרון הכללי של המשוואה מורכב מסכום הפתרון הפרטי של המשוואה ההומגנית המתאימה (הרשומה מטה) ומפתרון פרטי של המשוואה הלא-הומוגנית.

ראשית נמצא פתרון פרטי את המשוואה ההומוגנית המתאימה:

$y'+p(x)y=0$.

ניתן לפתור את המשוואה ההומגנית במגוון דרכים, ביניהן הפרדת משתנים:

${\frac {d}{dx}}y+p(x)y=0$

${\frac {dy}{dx}}=-p(x)y$

${dy \over y}=-{p(x)dx},$

$\int {\frac {1}{y}}\,dy=-\int p(x)\,dx$

$\ln |y|=-\int p(x)\,dx+C_{0}$

$y=\pm e^{-\int p(x)\,dx+C_{0}}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}$

כלומר, פתרון המשוואה ההומגנית הוא:

$y_{c}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}$

כעת נחזור למשוואה המקורית הלא-הומגנית:

$y'+p(x)y=q(x)$

נשתמש בשיטת וריאציית הפרמטר - באמצעות החלפת הפרמטר $C_{0}$ של הפתרון הפרטי בפונקציה $C(x)$

$y_{p}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}$

באמצעות הצבת הפתרון הפרטי לתוך המשוואה המקורית הלא-הומוגנית ניתן למצוא $C(x)$:

$C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)$

$C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)$

$C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}$

$C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{1}$

אנו נדרשים רק לפתרון פרטי, לכן נבחר $C_{1}=0$ לצורך פשטות. כאשר הפתרון הפרטי הוא: $y_{p}=e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx$

לבסוף נסכום את שני הפתרונות הפרטיים שמצאנו לכדי פתרון כללי

$y=y_{c}+y_{p}$

$y=e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}$

מד"ר מסדר שני

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.