במתמטיקה ובעיבוד אותות, התמרת הילברט היא אופרטור ליניארי, שלוקח פונקציה
, ומייצר פונקציה
, עם אותו תחום.
בשונה מהתמרות אחרות כדוגמת התמרת Z, התמרת פורייה, אשר מעבירות פונקציות בין מרחבים, התמרת הילברט לוקחת פונקציה במרחב הזמן, ומשאירה אותה במרחב הזמן, בערך המסובב ב-
בתדר.
התמרת הילברט קרויה על שם דויד הילברט, שהיה הראשון אשר הציג את האופרטור לפתרון המקרה המיוחד של בעיית רימן-הילברט עבור פונקציה הולומורפית.
מבוא
באדום-התמרת הילברט, בכחול-גל מרובע
התמרת הילברט של פונקציה
היא קונבולוציה של הפונקציה
עם הפונקציה
.
ההתמרה מחושבת בצורה הבאה:
כאשר מבצעים התמרת הילברט פעמיים ברצף לפונקציה u, התוצאה היא u שלילית:
![{\displaystyle H(H(u))(t)=-u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa983c027c255aefed5d098f89fb08b029c2f3f0)
- מכאן התמרת הילברט ההפוכה היא:
![{\displaystyle H^{-1}=-H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99551a344886cdd0e6723ddf465ced808f84347)
- במישור התדר, התמרת הילברט היא:
, כאשר
היא פוקנציית הסימן.
- מכאן ניתן לראות ש
, כלומר התמרת הילברט משנה רק את הפאזה של האות, היא מסובבת את הפאזה של רכיבי התדר החיוביים ב
ואת הפאזה של רכיבי התדר השליליים ב
.
- לכן האות במישור התדר לאחר התמרת הילברט הוא:
, כאשר
ו
הן ההתמרות פורייה של
ו
בהתאמה.
סימון
בעיבוד אותות, התמרת הילברט של
מסומנת ע"י:
. במתמטיקה, הסימון הנפוץ הוא
.
טבלת התמרות הילברט
האות ![{\displaystyle u(t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce7bf1581c457abded457054631a96e8a2254944) |
התמרת הילברט
|
![{\displaystyle \sin(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eb63cccca21b1edef50f707888e3204ab5fda1a) |
|
![{\displaystyle \cos(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e085ea72cfc97b8a3ed794d63f7f799e76c2fc) |
|
![{\displaystyle \exp \left(it\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8d97bd8d0d318813fb19bc9fae6cbbfc324566) |
|
![{\displaystyle \exp \left(-it\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953c23aaef0a42843cb24f083b134038df646b36) |
|
![{\displaystyle 1 \over t^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eae4770dc6b10dc98a6984c7d0826813d5437da) |
|
![{\displaystyle e^{-t^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abfe401b02087cb2fa38a41d3bc75516937d17a0) |
|
פונקציית Sinc ![{\displaystyle \sin(t) \over t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ffbb54ec3747882f03549f6133c3cee9e7e16c) |
|
פונקציית המלבן ![{\displaystyle \sqcap (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3393a4468aef85fde0821c2540e0d8709f78dc9a) |
|
פונקציית דלתא של דיראק
![{\displaystyle \delta (t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a6eb27873ffae4d91f1f3a174131b84c9141edb) |
|
ראו גם
קישורים חיצוניים
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
פרמטרי חובה [ פריט ] חסרים 26125415התמרת הילברט