פונקציה חד-חד-ערכית ועל

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציה חד-חד-ערכית ועל (נקראת גם בִּייקציָה; באנגלית: Bijection) היא פונקציה המקבלת את כל הערכים בטווח, וכל אחד מהם מתקבל פעם אחת בלבד.

באופן פורמלי: $ f:X\rightarrow Y $ חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם לכל $ b\in Y $ קיים $ a\in X $ יחיד כך ש $ f(a)=b $. בתנאי זה, קיומו של $ a $ מבטא את העובדה שהפונקציה היא פונקציה על, והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים $ a,a' $ שונים שעבורם $ f(a)=f(a') $ מבטאת את העובדה שהפונקציה חד-חד-ערכית.

דוגמאות

• מכירת כרטיסי קולנוע יוצרת התאמה בין קהל הצופים לבין הכיסאות שבאולם הקולנוע. כאשר כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית ועל - לכל כיסא באולם הקולנוע מותאם צופה אחד ויחיד. כאשר לא כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית שאינה על - יש כיסאות פנויים באולם.
• פונקציה המתאימה לכל מספר זוגי את החצי שלו (כלומר מתאימה ל-2 את 1, ל-4 את 2, ל-6 את 3 וכו') היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הזוגיים לקבוצת המספרים הטבעיים.

גרף פונקציה $ y=x^{2} $ בתחום $ [-2,2] $

• הפונקציה $ y=x^{2} $ היא חד-חד-ערכית ועל בתחום $ f:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty ) $, משום שכל ערך של y בקטע הממשי $ [0,\infty ) $ מתקבל בדיוק פעם אחת. הפונקציה איננה חד-חד-ערכית בתחום $ f:(-\infty ,\infty )\rightarrow [0,\infty ) $ משום שכל ערך של y בקטע הממשי $ (0,\infty ) $ מתקבל פעמיים (הערך 4, למשל, הוא $ f(2) $ וגם $ f(-2) $).
• הפונקציה $ y=x^{3} $ היא חד-חד-ערכית ועל בתחום $ f:[-1,1]\rightarrow [-1,1] $, משום שכל ערך של y בקטע הממשי $ [-1,1] $ מתקבל בדיוק פעם אחת.

דיאגרמות להמחשה

• 
  פונקציה חד-חד-ערכית ועל
• 
  פונקציה חד-חד-ערכית שאינה על
• 
  פונקציה על שאינה חד-חד-ערכית
• 
  פונקציה שאינה חד-חד-ערכית ואינה על

תכונות ושימושים

• אם קיימת פונקציה כזו, הקבוצות $ X $ ו-$ Y $ נקראות "שקולות" והן בעלות אותה עוצמה.
• פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם היא הפיכה, ולכן יחס השקילות הזה בין קבוצות הוא יחס סימטרי.
• אם על הקבוצות $ X,Y $ מוגדר מבנה נוסף (פעולות אלגבריות, טופולוגיה, מטריקה וכדומה), אז פונקציה חד-חד-ערכית ועל ביניהן השומרת על המבנה נקראת איזומורפיזם.
• פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אל עצמה נקראת תמורה.
• אוסף התמורות על קבוצה $ X $ הוא חבורת הסימטריות של הקבוצה; לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל מספר שלם את העוקב שלו, היא תמורה על המספרים השלמים. פונקציות חד-חד-ערכיות ועל הן מאבני הבניין של צפנים סימטריים מודרניים רבים בקריפטוגרפיה.

ראו גם

• תמורה (מתמטיקה)
• פונקציה הפיכה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציה חד-חד-ערכית ועל בוויקישיתוף

• פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציה חד-חד-ערכית ועל34017538Q180907