השערת המונה החריג

בתורת הקבוצות, השערת המונה החריג (SCH) היא ההנחה שהשערת הרצף לא נכשלת במונים חריגים באופן לא טריוויאלי. למונח "לא טריוויאלי" יש שני מובנים מקובלים:

1. אם המונה החריג $\mu$ הוא גבולי בחזק, כלומר לכל $\lambda <\mu$ מתקיים $2^{\lambda }<\mu$, אז מתקיים $2^{\mu }=\mu ^{+}$
2. אם $2^{{\mbox{cf }}\mu }<\mu$ אז $\mu ^{{\mbox{cf }}\mu }=\mu ^{+}$

הגרסה השנייה גוררת את הראשונה, ואינה נובעת ממנה (${\mbox{cf}}(\kappa )$ היא הקופינליות של $\kappa$).

כיוון שהשערת הרצף המוכללת עקבית ביחס ל-ZFC, לפי תוצאה של גדל, השערת המונה החריג היא עקבית. לעומת זאת, בניגוד למצב הקיים במונים סדירים, קיימות מגבלות לא טריוויאלית על הפרת השערת הרצף במונה חריג. שאלות בנוגע לחוזק ההתיישבות והעקביות של הפרות שונות של השערת המונה החריג הן מרכזיות בתורת הקבוצות המודרנית.

לאורך הערך, הפונקציה $\kappa \rightarrow 2^{\kappa }$ המקבלת מונה $\kappa$ ומחזירה את עוצמת קבוצת החזקה שלו, תיקרא "פונקציית הרצף".

רקע

זמן קצר יחסית לאחר פיתוח שיטת הכפייה על ידי פול כהן והדגמת אי התלות של השערת הרצף, בשנת 1970, פרסם ויליאם אסטון כפייה המאפשרת לקבל ערכים כרצוננו לפונקציית הרצף, עבור כל המונים הסדירים. המגבלות היחידות היו המונוטוניות של פונקציית הרצף ומשפט קניג, ${\mbox{cf}}(2^{\kappa })>\kappa$. תוצאה זאת נקראת משפט אסטון.

משפט אסטון לא מטפל בערכים שמקבלת פונקציית הרצף במונים חריגים, ולכן באופן טבעי עלתה השאלה האם ניתן לשנות את ערכי פונקציית הרצף במונים חריגים בצורה שרירותית, עד כדי אותן מגבלות שקיימות על המונים הסדירים?

מגבלות ב-ZFC

בשנת 1975 פורסמו תוצאות ראשונות שהדגימו את המגבלות הנוספות שקיימות בהפרת השערת הרצף במונים חריגים. ג'ק סילבר הוכיח כי לא ניתן להפר את השערת הרצף בפעם הראשונה במונה חריג מקופינליות שאינה בת מנייה. למשל, אם לכל $\alpha <\omega _{1}$ מתקיים $2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$ אז בהכרח $2^{\aleph _{\omega _{1}}}=\aleph _{\omega _{1}+1}$. זמן קצר לאחר מכן פורסם משפט Hajnal-Galvin. המשפט קבע כי אם $\aleph _{\alpha }$ מונה חריג עם קופינליות לא בת מנייה, אז $2^{\aleph _{\alpha }}<\aleph _{\gamma }$ כאשר $\gamma =(2^{|\alpha |})^{+}$.

משפטים אלו הסבירו חלק מהקושי בקביעת ערכים שרירותיים לפונקציית הרצף של מונים חריגים. לפני פרסום משפט סילבר, הדעה הרווחת הייתה שמשפט אסטון לא מטפל במונים חריגים מסיבות טכניות בלבד וכי שיפורים בשיטת הכפייה יובילו לתוצאות אי תלות הדומות לאלו שהתקבלו במונים הסדירים. משפט סילבר הדגים כי הבעיות בהכללת משפט אסטון למונים חריגים נבעו ממגבלות אמיתיות, ב-ZFC, שקיימות על התנהגות פונקציית הרצף במונים החריגים.

בשנת 1978, שהרן שלח התחיל לפרסם תוצאות מתורת ה-pcf, אותה הוא פיתח. הרעיון הכללי שבבסיס תורה זו הוא שניתוח נכון של התנהגות אריתמטיקת המונים במונים חריגים ינבע מהבנה של יחסי סדר מהצורה $\prod _{i\in A}\lambda _{i}/I$, כאשר $\lambda _{i}$ מונים סדירים שגבולם המונה החריג בו אנו מתעניינים ו-I הוא אידיאל על קבוצת האינדקסים A. רעיונות דומים, בצורה הרבה פחות מפותחת, הופיעו בהוכחות של משפט סילבר ומשפט Hajnal-Galvin. שיטה זו אפשרה להשיג תוצאות על התנהגות פונקציית הרצף במונים חריגים מקופינאליות בת מנייה. במסגרת הזו, בשנת 1982, שלח הוכיח את החסם המפורסם:

$2^{\aleph _{\omega }}<\aleph _{\omega _{4}}$, תחת ההנחה ש-$\aleph _{\omega }$ גבולי חזק.

חסם זה לא שופר מאז.

תוצאות אי תלות

כדי להוכיח את עקביות שלילת השערת המונה החריג יש להניח קיום מונים גדולים למדי. קיים קשר הדוק בין שלילת SCH לבין שלילת השערת הרצף במונה מדיד. בכיוון אחד, הסיבה היא קיום כפייה (הנקראת כפיית פריקרי, Prikry Forcing) שהופכת מונה מדיד למונה חריג מקופינליות $\omega$, בלי למוטט מונים. לכן מתוך מודל בו השערת הרצף נכשלת במונה מדיד ניתן לעבור, על ידי כפיית פריקרי, למודל בו השערת הרצף נכשלת במונה חריג. הכיוון השני הוא מורכב יותר וניתן על ידי תורת המודלים הפנימיים.

מוטי גיטיק הוכיח כי חוזק ההתיישבות של שלילת SCH הוא בדיוק קיום מונה מדיד $\kappa$ מסדר מיטשל $\kappa ^{++}$. הוא הראה זאת, מצד אחד, על ידי בניית כפייה שמשאירה את $\kappa$ מדיד אך מגדילה את קבוצת החזקה שלו לעוצמה $\kappa ^{++}$. כפייה זו מבוססת על בנייה דומה של סילבר, שהשתמשה במונה על-קומפקטי. מצד שני, על ידי שימוש בתורת המודלים הפנימיים, הוא הוכיח כי אם SCH נכשלת במונה מסוים, אז יש מודל פנימי עם מונה מדיד $\kappa$ מסדר מיטשל $\kappa ^{++}$.

מנחם מגידור הוכיח כי שלילת SCH במונה המינימלי האפשרי, $\aleph _{\omega }$, היא עקבית תחת הנחת קיום מונה על קומפקטי. במודל שמתקבל, מתקיים $2^{\aleph _{n}}=\aleph _{n+1}$ לכל מספר טבעי אבל $2^{\aleph _{\omega }}=\aleph _{\omega +2}$. תוצאה זו מדגימה כי משפט סילבר אינו תקף במונים מקופינאליות בת מנייה. בהמשך, מגידור ושלח שיפרו את הבנייה הזו והראו כי ניתן להשיג $2^{\aleph _{\omega }}=\aleph _{\beta +1}$ לכל סודר בן מנייה אינסופי $\beta$.

השאלה האם ייתכן כי $2^{\aleph _{\omega }}>\aleph _{\omega _{1}}$, כאשר $\aleph _{\omega }$ גבולי חזק, היא בעיה פתוחה מרכזית בתורת הקבוצות.