הפרדוקס של קרי

הפרדוקס של קרי (Curry's paradox) הוא פרדוקס ממשפחת הפרדוקסים של התייחסות עצמית, הכוללת גם את פרדוקס השקרן ואת הפרדוקס של ראסל. בדומה לשני הפרדוקסים הללו, הפרדוקס של קרי מציג את הבעייתיות שבתורת קבוצות נאיבית ובתורת אמת נאיבית. אך בניגוד לשני האחרונים, הפרדוקס של קרי לא כולל שימוש בשלילה. הפרדוקס הוא שכל משפט שיחליף את ב' במבנה המשפט "אם המשפט הזה נכון, אז ב'" ניתן להוכחה כאמתי, גם אם ברור לכל שהוא שקרי. לדוגמה, אם נחליף את ב' במשפט השקרי "כל הסוסים מדברים עברית", אז מניתוח לוגי של המשפט: "אם המשפט הזה נכון, אז כל הסוסים מדברים עברית" ניתן יהיה להסיק שכל הסוסים אכן דוברי עברית, למרות שברור כי אין זה כך.

אם-אז

בלוגיקה, טענות מהסוג "אם א' אז ב'" מכונות טענות תנאי, כך שא' נקרא הרישא של טענת התנאי, ב' נקרא הסיפא של טענת התנאי, והביטוי "אם...אז" הוא הקשר הלוגי אם-אז. טענה מהצורה הזאת היא שקרית אם ורק אם א' הוא נכון וב' איננו נכון:

• אם השמש זורחת במזרח (אמת) אז השמש שוקעת במערב (אמת) : אמת.
• אם השמש זורחת במערב (שקר) אז השמש שוקעת במערב (אמת) : אמת.
• אם השמש זורחת במערב (שקר) אז השמש שוקעת במזרח (שקר) : אמת.
• אם השמש זורחת במזרח (אמת) אז השמש שוקעת במזרח (שקר) : שקר.

חשוב לשים לב כי אין שום דרישה ליחס סיבתי כלשהו במציאות בין הטענה בחלק הראשון לטענה בחלק השני. ערך האמת של המשפט כולו נובע אך ורק מערכי האמת של כל אחד מהצדדים, באופן בלתי תלוי בקיומו או היעדרו של קשר ביניהם.

הוכחת המשפט

דרך שימוש בהגדרת הקשר אם-אז (טבלת אמת), ניתן להראות שהטענה "אם המשפט הזה נכון, אז כל הסוסים מדברים עברית" נכונה (ולכן גם הטענה "כל הסוסים דוברי עברית" נכונה). נקרא למשפט הזה "משפט א'". אפשר לנסח אותו גם כך: "אם משפט א' נכון, אז כל הסוסים מדברים עברית".

נוכיח זאת בשני שלבים:

בשלב ראשון, נניח (לצורך הוכחה בדרך השלילה) כי הטענה כולה היא שקרית.

1. כפי שהוסבר, טענה מסוג זה (אם-אז) היא שקרית אך ורק אם החלק הראשון הוא אמת, והחלק השני הוא שקר. לכן החלק הראשון ("משפט א' נכון") בהכרח נכון.
2. אם כן, על סמך ההנחה שמשפט א' שקרי הגענו למסקנה שמשפט א' נכון. זוהי סתירה.
3. רואים שההנחה כי משפט א' שקרי מביאה לסתירה, ומכאן נובע כי משפט א' הוא נכון.

שלב שני:

1. משפט א' הוא נכון, כפי שהראינו בשלב הקודם.
2. משפט א' הוא מהצורה "אם א' אז ב'". כיוון ש-א' נכון, וכדי שהמשפט כולו יהיה נכון, בהכרח גם ב' נכון. (אם ב' שגוי, המשפט כולו הוא מהצורה "אם [אמת] אז [שקר]" ולכן שקרי). ב', כזכור, הוא הטענה כי כל הסוסים מדברים עברית.
3. מכאן מחייב שהטענה "כל הסוסים דוברי עברית" היא אמתית.

ניתן גם להוכיח באופן סינטקטי את הטענה. בדרך זו מניחים את רישא של הטענה ומוכיחים את הסיפא. אם מניחים את הרישא מניחים כי הטענה היא אמתית. מכאן יוצא שכל טענת התנאי היא אמתית. כעת, במודוס פוננס, ניתן לגזור את הסיפא, כלומר את הטענה שכל הסוסים דוברי עברית.