האינוולוציה הסימפלקטית
באלגברה לינארית, האינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות מסדר $ \ 2m\times 2m $ היא ההעתקה $ \ \operatorname {M} _{2m}(F)\rightarrow \operatorname {M} _{2m}(F) $ המוגדרת לפי $ \ \left({\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}}\right)^{s}=\left({\begin{array}{cc}D^{t}&-B^{t}\\-C^{t}&A^{t}\end{array}}\right) $, כאשר $ \ A,B,C,D $ הם בלוקים בגודל $ \ m\times m $ במטריצה, ו-$ \ X^{t} $ מסמן את המטריצה המשוחלפת של הבלוק $ \,X $.
האינוולוציה הסימפלקטית של אלגברת המטריצות היא אינוולוציה, כלומר, העתקה שומרת חיבור והופכת סדר בכפל, שהפעלתה פעמיים נותנת את העתקת הזהות. בניגוד לאינוולוציה האורתוגונלית $ \ X\mapsto X^{t} $ על $ \ \operatorname {M} _{n}(F) $, שבה מרחב המטריצות הסימטריות הוא ממימד $ \ {\frac {n(n+1)}{2}} $ ומימד מרחב המטריצות האנטי-סימטריות הוא מהמימד המשלים $ \ {\frac {n(n-1)}{2}} $, באינוולוציה הסימפלקטית המצב הפוך.
כל אינוולוציה של אלגברה פשוטה מרכזית ההופכת להיות סימפלקטית לאחר הרחבת סקלרים לשדה פיצול, נקראת "אינוולוציה סימפלקטית". לדוגמה, האינוולוציה הסטנדרטית של אלגברת קווטרניונים $ \ Q=F[x,y|yx=-xy,x^{2}=a,y^{2}=b] $, המוגדרת לפי $ \ {\overline {\alpha +\beta x+\gamma y+\delta xy}}=\alpha -\beta x-\gamma y-\delta xy $, היא סימפלקטית (משום שמימד האברים הסימטריים הוא 1).