האינוולוציה הסימפלקטית

באלגברה לינארית, האינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות מסדר $\ 2m\times 2m$ היא ההעתקה $\ \operatorname {M} _{2m}(F)\rightarrow \operatorname {M} _{2m}(F)$ המוגדרת לפי $\ \left({\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}}\right)^{s}=\left({\begin{array}{cc}D^{t}&-B^{t}\\-C^{t}&A^{t}\end{array}}\right)$, כאשר $\ A,B,C,D$ הם בלוקים בגודל $\ m\times m$ במטריצה, ו-$\ X^{t}$ מסמן את המטריצה המשוחלפת של הבלוק $\,X$.

האינוולוציה הסימפלקטית של אלגברת המטריצות היא אינוולוציה, כלומר, העתקה שומרת חיבור והופכת סדר בכפל, שהפעלתה פעמיים נותנת את העתקת הזהות. בניגוד לאינוולוציה האורתוגונלית $\ X\mapsto X^{t}$ על $\ \operatorname {M} _{n}(F)$, שבה מרחב המטריצות הסימטריות הוא ממימד $\ {\frac {n(n+1)}{2}}$ ומימד מרחב המטריצות האנטי-סימטריות הוא מהמימד המשלים $\ {\frac {n(n-1)}{2}}$, באינוולוציה הסימפלקטית המצב הפוך.

כל אינוולוציה של אלגברה פשוטה מרכזית ההופכת להיות סימפלקטית לאחר הרחבת סקלרים לשדה פיצול, נקראת "אינוולוציה סימפלקטית". לדוגמה, האינוולוציה הסטנדרטית של אלגברת קווטרניונים $\ Q=F[x,y|yx=-xy,x^{2}=a,y^{2}=b]$, המוגדרת לפי $\ {\overline {\alpha +\beta x+\gamma y+\delta xy}}=\alpha -\beta x-\gamma y-\delta xy$, היא סימפלקטית (משום שמימד האברים הסימטריים הוא 1).

ראו גם

• אינוולוציה (תורת החוגים)