גז אולטרה-יחסותי
גז אולטרה-יחסותי (באנגלית: Ultra-relativistic Gas) הוא גז המורכב מחלקיקים בגבול האולטרה-יחסותי.
באופן כללי, אנרגיה של חלקיק יחסותי נתונה על ידי הקשר:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon^2=(pc)^2+(m_0 c^2 )^2}
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} הוא התנע של החלקיק, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_0} מסת המנוחה שלו, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} מהירות האור. חלקיק אולטרה-יחסותי הוא חלקיק שמקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle pc>>m_0c^2} , ועל כן האנרגיה שלו היא:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon \approx pc=\hbar kc}
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hbar} הוא קבוע פלאנק המצומצם.
משתנים תרמודינמיים
נתבונן בגז אולטרה-יחסותי בעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} חלקיקים בנפח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} , המצומד למאגר חום בטמפרטורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} (כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = k_BT} , ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_B} הוא קבוע בולצמן). מספר המצבים הנמצאים בטווח האנרגיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d\varepsilon} הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(\varepsilon)d\varepsilon} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(\varepsilon)} צפיפות המצבים ליחידת אנרגיה. עבור הגז האולטרה יחסותי צפיפות המצבים היא:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(\varepsilon)=\frac{V}{2\pi^2 (\hbar c)^3 } \varepsilon^2}
מכאן ניתן למצוא את פונקציית החלוקה הקנונית של חלקיק בודד:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_{single}=\int_{0}^{\infty}{g\left(\varepsilon\right) e^{-\beta\varepsilon}d\varepsilon}=\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\varepsilon^2 e^{-\beta\varepsilon}d\varepsilon}=\frac{V}{\pi^2\left(\hbar c\beta\right)^3}}
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{k_BT}} .
פונקציית החלוקה הקנונית הכוללת היא:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z=\frac{\left(Z_{single}\right)^N}{N!}=\frac{\left[\frac{V}{\pi^2\left(\hbar c\beta\right)^3}\right]^N}{N!}}
מכאן ניתן לגזור את המשתנים התרמודינמיים של המערכת:
האנרגיה הפנימית:
האנרגיה החופשית של הלמהולץ: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F=-\frac{1}{\beta}\ln{\left(Z\right)}=-N\tau\ln{\left[\frac{V\tau^3}{\pi^2\left(\hbar c\right)^3}\right]}+\tau ln{\left(N!\right)}\cong N\tau\left\{\ln{\left[\frac{N\pi^2\left(\hbar c\right)^3}{V\tau^3}\right]}-1\right\}}
כאשר בשוויון האחרון נעשה שימוש בקירוב סטירלינג.
האנטרופיה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma=-\left(\frac{\partial F}{\partial\tau}\right)_{V,N}=N\left\{\ln{\left[\frac{V\tau^3}{{N\pi}^2\left(\hbar c\right)^3}\right]}+4\right\}}
הלחץ: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=-\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{\tau,N}=\frac{N\tau}{V}}
ניתן לשים לב שמתקיים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{p}{u}=\frac{1}{3}}
(כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\frac{U}{V}} )
אפקטים קוונטיים בגז
בסעיפים הבאים יידונו מערכות של בוזונים או פרמיונים בגבול האולטרה-יחסותי. במקרים אלו, ניתן למצוא את הגדלים התרמודינמיים של הגז על ידי שימוש בהתפלגות בוז-איינשטיין או פרמי-דיראק בהתאמה. צפיפות המצבים היא כמו זו שחושבה קודם לכן, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_s} הוא ניוון הספין, שתלוי בסוג החלקיק היחסותי. הוא שווה ל-2 עבור אלקטרונים, פוזיטרונים, ניוטרינו ואנטי-ניוטרינו, ול-3 עבור פוטונים (בהנחה שכל מצבי הספין אפשריים) .
לצורך חישוב המשתנים התרמודינמיים, יעשה שימוש בתוצאה:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{0}^{\infty}{\frac{x^{n-1}}{{z^{-1}e}^x\pm1}dx}=\mp\ \Gamma\left(n\right)Li_n(\mp z)}
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma(z)} היא פונקציית גמא, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Li_n(z)} הוא פונקציית הפולילוגריתם, ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z\equiv e^{\mu/\tau}} .
גז פרמיונים אולטרה-יחסותי
בגבול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T\rightarrow0} (גז פרמיונים מנוון)
בגבול זה, כל מצבי האנרגיה עד לאנרגיה מסוימת, שהיא אנרגיית פרמי (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon_F} ) יאוכלסו, וכל המצבים באנרגיה גבוהה יותר לא יאוכלסו. לכן ניתן לכתוב:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=\int_{0}^{\varepsilon_F}g\left(\varepsilon\right)d\varepsilon}
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(\varepsilon)} היא פונקציית צפיפות המצבים. לפני הצבת פונקציה ספציפית, ניתן להשתמש בעובדה ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g\left(\varepsilon\right)=\frac{g_sV}{{2\pi^2\hbar}^3}p^2\frac{dp}{d\varepsilon}} . לכן:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=\frac{g_sV}{2\pi^2\hbar^3}\int_{0}^{p_F}{p^2dp}=\frac{g_sV}{6\pi^2\hbar^3}p_F^3\ \Longrightarrow p_F=\left(\frac{6\pi^2N}{g_sV}\right)^\frac{1}{3}\hbar}
כאשר תנע פרמי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_F} הוא התנע החד חלקיקי המתאים לאנרגיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon_F} . עבור גז אולטרה-יחסותי מתקיים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon_F=p_Fc=\left(\frac{6\pi^2N}{g_sV}\right)^\frac{1}{3}\hbar c}
ניתן להביע גם את האנרגיה והלחץ במונחי אנרגיית פרמי:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=\int_{0}^{\varepsilon_F}\varepsilon g\left(\varepsilon\right)d\varepsilon=\frac{g_sVc}{2\pi^2\hbar^3}\int_{0}^{p_F}{p^3dp}=\frac{g_sVc}{8\pi^2\hbar^3}p_F^4=\frac{3}{4}N\varepsilon_F}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=\frac{1}{3}\frac{U}{V}=\frac{1}{4}N\varepsilon_F}
בטמפרטורה כללית
האנרגיה הפנימית מתקבלת מסכימה של כל מצבי האנרגיה החד-חלקיקיים עבור תחום אנרגיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d\varepsilon} , כל מצב מוכפל באכלוס הממוצע שלו (התפלגות פרמי-דיראק), ולאחר מכן באנרגיה שלו ולבסוף בניוון הספין המתאים.
הביטוי להתפלגות פרמי-דיראק הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{FD}\left(\varepsilon\right)=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/\tau}+1}=\frac{1}{{z^{-1}e}^{\varepsilon/\tau}+1}}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=\int_{0}^{\infty}{g_sg\left(\varepsilon\right)\varepsilon f_{FD}\left(\varepsilon\right)}d\varepsilon=\int_{0}^{\infty}{g_s\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\varepsilon^2\frac{\varepsilon}{z^{-1}e^{\varepsilon/\tau\ }+1}d\varepsilon}=\frac{g_sV\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x+1}dx}=-\frac{g_sV\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(4\right)Li_4\left(-z\right)=-\frac{3g_sV\tau^4}{\pi^2(\hbar{c)}^3}Li_4\left(-z\right)}
מספר החלקיקים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=\int_{0}^{\infty}{g_sg\left(\varepsilon\right)f_{FD}\left(\varepsilon\right)}d\varepsilon=\int_{0}^{\infty}{g_s\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\varepsilon^2\frac{1}{{z^{-1}e}^\frac{\varepsilon}{\tau}+1}d\varepsilon}=\frac{g_sV\tau^3}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^2}{{z^{-1}e}^x+1}dx}=-\frac{g_sV\tau^3}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(3\right)Li_3\left(-z\right)=-\frac{g_sV\tau^3}{\pi^2(\hbar{c)}^3}Li_3\left(-z\right)}
בנוסף, נשתמש בקשר עבור פרמיונים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{pV}{\tau}=\ln{\mathcal{Q}}=\sum_{i}\ln{\left({1+e}^{-\varepsilon_i/\tau\ }\right)}}
(הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{Q}} היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)
לכן, מאותם שיקולים שנלקחו בחשבון בחישוב האנרגיה הפנימית, נקבל ביטוי ללחץ:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=\frac{\tau}{V}\int_{0}^{\infty}{g_s g\left(\varepsilon\right)\ln{\left({1+e}^{-\frac{\varepsilon}{\tau}}\right)}d\varepsilon}=\frac{g_s\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{x^2\ln{\left(1+e^{-x}\right)}dx}=\frac{g_s\tau^4}{6\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x+1}dx}=-\frac{g_s\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(4\right)Li_4\left(-z\right)=-\frac{g_s\tau^4}{\pi^2(\hbar{c)}^3} Li_4\left(-z\right)}
כמו כן, באמצעות שימוש במשוואת גיבס-דוהם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Nd\mu=-\sigma d\tau+Vdp} , ניתן לקבל את הקשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sigma}{V}=\left(\frac{\partial p}{\partial\tau}\right)_\mu} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma=\frac{S}{k_B}} היא האנטרופיה. מכאן:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma=V\left(\frac{\partial p}{\partial\tau}\right)_\mu=-\frac{4g_sV\tau^3}{\pi^2(\hbar{c)}^3} Li_4\left(-z\right)}
גז בוזונים אולטרה-יחסותי
לאנרגיה הפנימית ניתן להגיע מאותם שיקולים שנעשו עבור פרמיונים, אך כעת האכלוס הממוצע נתון על ידי התפלגות בוז-איינשטיין.
הביטוי להתפלגות בוז-איינשטיין הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{BE}\left(\varepsilon\right)=\frac{1}{e^\frac{\varepsilon-\mu}{\tau}-1}=\frac{1}{{z^{-1}e}^{\varepsilon/\tau}-1}}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=\int_{0}^{\infty}{g_s g\left(\varepsilon\right)\varepsilon f_{BE}\left(\varepsilon\right)}d\varepsilon=\int_{0}^{\infty}{g_s\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\varepsilon^2\frac{\varepsilon}{{z^{-1}e}^{\varepsilon/\tau}-1}d\varepsilon}=\frac{g_sV\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x-1}dx}=\frac{g_sV\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(4\right)Li_4\left(z\right)=\frac{{3g}_sV\tau^4}{\pi^2(\hbar{c)}^3} Li_4\left(z\right)}
כאשר בוצעה החלפת משתנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\frac{\varepsilon}{\tau}} . באותו אופן ניתן להגיע לביטוי עבור מספר החלקיקים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=\int_{0}^{\infty}{g_sg\left(\varepsilon\right)f_{BE}\left(\varepsilon\right)}d\varepsilon=\int_{0}^{\infty}{g_s\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\varepsilon^2\frac{1}{{z^{-1}e}^\frac{\varepsilon}{\tau}-1}d\varepsilon}=}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =\frac{g_sV\tau^3}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^2}{{z^{-1}e}^x-1}dx}=\frac{g_sV\tau^3}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(3\right)Li_3\left(z\right)=\frac{g_sV\tau^3}{\pi^2(\hbar{c)}^3}Li_3\left(z\right)}
נשתמש בקשר המקביל עבור בוזונים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{pV}{\tau}=\ln{\mathcal{Q}}=-\sum_{i}\ln{\left({1-ze}^{-\varepsilon_i/\tau\ }\right)}}
(הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{Q}} היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)
כדי לקבל את הלחץ:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=-\frac{\tau}{V}\int_{0}^{\infty}{g_sg\left(\varepsilon\right)\ln{\left({1-ze}^{-\frac{\varepsilon}{\tau}}\right)}d\varepsilon}=-\frac{g_s\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{x^2\ln{\left(1-{ze}^{-x}\right)}dx}=\frac{g_s\tau^4}{6\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x-1}dx}=\frac{g_s\tau^4}{6\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(4\right)Li_4\left(z\right)=\frac{g_s\tau^4}{\pi^2(\hbar{c)}^3}Li_4\left(z\right)}
וכפי שהוסבר לגבי פרמיונים, ממשוואת גיבס דוהם ניתן לקבל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma=V\left(\frac{\partial p}{\partial\tau}\right)_\mu=\frac{4g_sV\tau^3}{\pi^2(\hbar{c)}^3}Li_4\left(z\right)}
חשיבות המודל
התפשטות היקום המוקדם
למודל הגז היחסותי, וספציפית האולטרה-יחסותי, חשיבות בתיאור שלבים מוקדמים בהיווצרות היקום, שכן על פי השערת המדע, ברגעים מוקדמים מסוימים ביקום, החלקיקים שנוצרו היו חלקיקים יחסותיים. בנוסף, בתנאים ששררו אז ניתן להניח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu=0} , וכן שהחלקיקים היו בשיווי משקל תרמודינמי אחד עם השני. מנתונים אלו ניתן לקבל:
| בוזונים | פרמיונים | |
|---|---|---|
| אנרגיה פנימית | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=\frac{\pi^2}{30}\frac{g_sV\tau^4}{(\hbar{c)}^3}} | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=\frac{7\pi^2}{240}\frac{g_sV\tau^4}{(\hbar{c)}^3}} |
| מספר חלקיקים | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=\frac{\zeta\left(3\right)}{\pi^2}\frac{g_sV\tau^3}{(\hbar{c)}^3}} | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=\frac{3\zeta\left(3\right)}{4\pi^2}\frac{g_sV\tau^3}{(\hbar{c)}^3}} |
| לחץ | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=\frac{\pi^2}{90}\frac{g_s\tau^4}{(\hbar{c)}^3}} | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=\frac{7\pi^2}{720}\frac{g_s\tau^4}{(\hbar{c)}^3}} |
| אנטרופיה | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma=\frac{2\pi^2}{45}\frac{g_sV\tau^3}{(\hbar{c)}^3}} | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma=\frac{7\pi^2}{180}\frac{g_sV\tau^3}{(\hbar{c)}^3}} |
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta (x)} היא פונקציית זטא של רימן.
להשערת החוקרים, היקום ביצע התפשטות אדיאבטית (כי התהליך היה הפיך, ולא נכנס חום מכיוון שמתוך הגדרה, אין לחום מאין להיכנס), ובה התקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma=const} . כפי שניתן לראות מהחישובים למעלה, בתנאים אלו האנטרופיה פרופורציונית לנפח ולחזקה השלישית של הטמפרטורה, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V\tau^3=const} . מכאן ניתן לרשום:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau\left(t\right) a\left(t\right)=const}
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a(t)} הוא פרמטר ליניארי המתאר את הנפח המתפשט.
יציבות של ננסים לבנים
נושא בו יש חשיבות למודל של גז פרמיונים אולטרה-יחסותי הוא ניתוח הנוגע לננסים לבנים- כוכבים שהגורם המונע את קריסתם הוא לחץ ניוון של אלקטרונים.
לפי הביטוי שנראה קודם, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים מנוונים מתקבל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=\frac{\hbar c}{4}\left(3\pi^2\right)^\frac{1}{3}\ n^{4/3}}
(כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=\frac{N}{V}} )
פיתוח דומה עבור אלקטרונים לא יחסותיים מביא לתוצאה:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=\frac{\hbar^2}{5m_e}\left(3\pi^2\right)^\frac{2}{3}\ n^{5/3}\ }
מכיוון ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\approx\frac{Z\rho}{Am_p}} (כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z} המספר האטומי של האטומים בכוכב, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} מספר המסה שלהם, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} הצפיפות של הננס הלבן ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_p} מסת פרוטון), ניתן להגיע לתלות של הלחץ הפנימי בצפיפות הכוכב, עבור אלקטרונים לא יחסותיים ועבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{non-relativistic}\propto\rho^{5/3}}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{ultra-relativistic}\propto\rho^{4/3}}
הלחץ הכבידתי (הלחץ החיצוני) נתון על ידי הביטוי:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{gravitation}=-\frac{G}{5}\left(\frac{4\pi}{3}\right)^\frac{1}{3}M^\frac{2}{3}\ \rho^{4/3}}
כלומר, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים, הלחץ החיצוני והפנימי תלויים בצפיפות באותו אופן, וזה מצב שאינו יציב (בניגוד למצב עבור האלקטרונים הלא-יחסותיים, שהוא יציב). עניין זה מרמז על קיומה של מסה מעליה הננס הלבן אינו יציב. טיפול מדויק בנושא מוביל לגבול צ'נדראסקאר - המסה המקסימלית בה ננס לבן יציב.
לקריאה נוספת
ביבליוגרפיה
- Pathria, R.K; Beale, Paul D., Statistical Mechanics, Ed. 3 (2011), Elsevier Science & Technology
- Blundell, S.; Blundell, K., Concepts in Thermal Physics (2006), Oxford University Press
גז אולטרה-יחסותי29994263