גז אולטרה-יחסותי

גז אולטרה-יחסותי (באנגלית: Ultra-relativistic Gas) הוא גז המורכב מחלקיקים בגבול האולטרה-יחסותי.

באופן כללי, אנרגיה של חלקיק יחסותי נתונה על ידי הקשר:

$\varepsilon ^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}$

כאשר $p$ הוא התנע של החלקיק, $m_{0}$ מסת המנוחה שלו, ו-$c$ מהירות האור. חלקיק אולטרה-יחסותי הוא חלקיק שמקיים $pc>>m_{0}c^{2}$, ועל כן האנרגיה שלו היא:

$\varepsilon \approx pc=\hbar kc$

כאשר $\hbar$ הוא קבוע פלאנק המצומצם.

משתנים תרמודינמיים

נתבונן בגז אולטרה-יחסותי בעל $N$ חלקיקים בנפח $V$, המצומד למאגר חום בטמפרטורה $\tau$ (כאשר $\tau =k_{B}T$, ו-$k_{B}$ הוא קבוע בולצמן). מספר המצבים הנמצאים בטווח האנרגיות $d\varepsilon$ הוא $g(\varepsilon )d\varepsilon$, כאשר $g(\varepsilon )$ צפיפות המצבים ליחידת אנרגיה. עבור הגז האולטרה יחסותי צפיפות המצבים היא:

$g(\varepsilon )={\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar c)^{3}}}\varepsilon ^{2}$

מכאן ניתן למצוא את פונקציית החלוקה הקנונית של חלקיק בודד:

$Z_{single}=\int _{0}^{\infty }{g\left(\varepsilon \right)e^{-\beta \varepsilon }d\varepsilon }={\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\varepsilon ^{2}e^{-\beta \varepsilon }d\varepsilon }={\frac {V}{\pi ^{2}\left(\hbar c\beta \right)^{3}}}$

כאשר $\beta ={\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{k_{B}T}}$.

פונקציית החלוקה הקנונית הכוללת היא:

$Z={\frac {\left(Z_{single}\right)^{N}}{N!}}={\frac {\left[{\frac {V}{\pi ^{2}\left(\hbar c\beta \right)^{3}}}\right]^{N}}{N!}}$

מכאן ניתן לגזור את המשתנים התרמודינמיים של המערכת:

האנרגיה הפנימית: $U=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln {\left(Z\right)}={\frac {3N}{\beta }}=3N\tau$

האנרגיה החופשית של הלמהולץ: $F=-{\frac {1}{\beta }}\ln {\left(Z\right)}=-N\tau \ln {\left[{\frac {V\tau ^{3}}{\pi ^{2}\left(\hbar c\right)^{3}}}\right]}+\tau ln{\left(N!\right)}\cong N\tau \left\{\ln {\left[{\frac {N\pi ^{2}\left(\hbar c\right)^{3}}{V\tau ^{3}}}\right]}-1\right\}$

כאשר בשוויון האחרון נעשה שימוש בקירוב סטירלינג.

האנטרופיה: $\sigma =-\left({\frac {\partial F}{\partial \tau }}\right)_{V,N}=N\left\{\ln {\left[{\frac {V\tau ^{3}}{{N\pi }^{2}\left(\hbar c\right)^{3}}}\right]}+4\right\}$

הלחץ: $p=-\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{\tau ,N}={\frac {N\tau }{V}}$

ניתן לשים לב שמתקיים:

${\frac {p}{u}}={\frac {1}{3}}$

(כאשר $u={\frac {U}{V}}$)

אפקטים קוונטיים בגז

בסעיפים הבאים יידונו מערכות של בוזונים או פרמיונים בגבול האולטרה-יחסותי. במקרים אלו, ניתן למצוא את הגדלים התרמודינמיים של הגז על ידי שימוש בהתפלגות בוז-איינשטיין או פרמי-דיראק בהתאמה. צפיפות המצבים היא כמו זו שחושבה קודם לכן, ו-$g_{s}$ הוא ניוון הספין, שתלוי בסוג החלקיק היחסותי. הוא שווה ל-2 עבור אלקטרונים, פוזיטרונים, ניוטרינו ואנטי-ניוטרינו, ול-3 עבור פוטונים (בהנחה שכל מצבי הספין אפשריים) .

לצורך חישוב המשתנים התרמודינמיים, יעשה שימוש בתוצאה:

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{n-1}}{{z^{-1}e}^{x}\pm 1}}dx}=\mp \ \Gamma \left(n\right)Li_{n}(\mp z)$

כאשר $\Gamma (z)$ היא פונקציית גמא, $Li_{n}(z)$ הוא פונקציית הפולילוגריתם, ו- $z\equiv e^{\mu /\tau }$.

גז פרמיונים אולטרה-יחסותי

בגבול $T\rightarrow 0$ (גז פרמיונים מנוון)

בגבול זה, כל מצבי האנרגיה עד לאנרגיה מסוימת, שהיא אנרגיית פרמי ($\varepsilon _{F}$) יאוכלסו, וכל המצבים באנרגיה גבוהה יותר לא יאוכלסו. לכן ניתן לכתוב:

$N=\int _{0}^{\varepsilon _{F}}g\left(\varepsilon \right)d\varepsilon$

כאשר $g(\varepsilon )$ היא פונקציית צפיפות המצבים. לפני הצבת פונקציה ספציפית, ניתן להשתמש בעובדה ש- $g\left(\varepsilon \right)={\frac {g_{s}V}{{2\pi ^{2}\hbar }^{3}}}p^{2}{\frac {dp}{d\varepsilon }}$. לכן:

$N={\frac {g_{s}V}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{p_{F}}{p^{2}dp}={\frac {g_{s}V}{6\pi ^{2}\hbar ^{3}}}p_{F}^{3}\ \Longrightarrow p_{F}=\left({\frac {6\pi ^{2}N}{g_{s}V}}\right)^{\frac {1}{3}}\hbar$

כאשר תנע פרמי $p_{F}$ הוא התנע החד חלקיקי המתאים לאנרגיה $\varepsilon _{F}$. עבור גז אולטרה-יחסותי מתקיים:

$\varepsilon _{F}=p_{F}c=\left({\frac {6\pi ^{2}N}{g_{s}V}}\right)^{\frac {1}{3}}\hbar c$

ניתן להביע גם את האנרגיה והלחץ במונחי אנרגיית פרמי:

$U=\int _{0}^{\varepsilon _{F}}\varepsilon g\left(\varepsilon \right)d\varepsilon ={\frac {g_{s}Vc}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{p_{F}}{p^{3}dp}={\frac {g_{s}Vc}{8\pi ^{2}\hbar ^{3}}}p_{F}^{4}={\frac {3}{4}}N\varepsilon _{F}$

$p={\frac {1}{3}}{\frac {U}{V}}={\frac {1}{4}}N\varepsilon _{F}$

בטמפרטורה כללית

האנרגיה הפנימית מתקבלת מסכימה של כל מצבי האנרגיה החד-חלקיקיים עבור תחום אנרגיות $d\varepsilon$, כל מצב מוכפל באכלוס הממוצע שלו (התפלגות פרמי-דיראק), ולאחר מכן באנרגיה שלו ולבסוף בניוון הספין המתאים.

הביטוי להתפלגות פרמי-דיראק הוא $f_{FD}\left(\varepsilon \right)={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/\tau }+1}}={\frac {1}{{z^{-1}e}^{\varepsilon /\tau }+1}}$

$U=\int _{0}^{\infty }{g_{s}g\left(\varepsilon \right)\varepsilon f_{FD}\left(\varepsilon \right)}d\varepsilon =\int _{0}^{\infty }{g_{s}{\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\varepsilon ^{2}{\frac {\varepsilon }{z^{-1}e^{\varepsilon /\tau \ }+1}}d\varepsilon }={\frac {g_{s}V\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{{z^{-1}e}^{x}+1}}dx}=-{\frac {g_{s}V\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(4\right)Li_{4}\left(-z\right)=-{\frac {3g_{s}V\tau ^{4}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{4}\left(-z\right)$

מספר החלקיקים:

$N=\int _{0}^{\infty }{g_{s}g\left(\varepsilon \right)f_{FD}\left(\varepsilon \right)}d\varepsilon =\int _{0}^{\infty }{g_{s}{\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\varepsilon ^{2}{\frac {1}{{z^{-1}e}^{\frac {\varepsilon }{\tau }}+1}}d\varepsilon }={\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{2}}{{z^{-1}e}^{x}+1}}dx}=-{\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(3\right)Li_{3}\left(-z\right)=-{\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{3}\left(-z\right)$

בנוסף, נשתמש בקשר עבור פרמיונים:

${\frac {pV}{\tau }}=\ln {\mathcal {Q}}=\sum _{i}\ln {\left({1+e}^{-\varepsilon _{i}/\tau \ }\right)}$

(${\mathcal {Q}}$ היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)

לכן, מאותם שיקולים שנלקחו בחשבון בחישוב האנרגיה הפנימית, נקבל ביטוי ללחץ:

$p={\frac {\tau }{V}}\int _{0}^{\infty }{g_{s}g\left(\varepsilon \right)\ln {\left({1+e}^{-{\frac {\varepsilon }{\tau }}}\right)}d\varepsilon }={\frac {g_{s}\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{x^{2}\ln {\left(1+e^{-x}\right)}dx}={\frac {g_{s}\tau ^{4}}{6\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{{z^{-1}e}^{x}+1}}dx}=-{\frac {g_{s}\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(4\right)Li_{4}\left(-z\right)=-{\frac {g_{s}\tau ^{4}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{4}\left(-z\right)$

כמו כן, באמצעות שימוש במשוואת גיבס-דוהם $Nd\mu =-\sigma d\tau +Vdp$, ניתן לקבל את הקשר ${\frac {\sigma }{V}}=\left({\frac {\partial p}{\partial \tau }}\right)_{\mu }$, כאשר $\sigma ={\frac {S}{k_{B}}}$ היא האנטרופיה. מכאן:

$\sigma =V\left({\frac {\partial p}{\partial \tau }}\right)_{\mu }=-{\frac {4g_{s}V\tau ^{3}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{4}\left(-z\right)$

גז בוזונים אולטרה-יחסותי

לאנרגיה הפנימית ניתן להגיע מאותם שיקולים שנעשו עבור פרמיונים, אך כעת האכלוס הממוצע נתון על ידי התפלגות בוז-איינשטיין.

הביטוי להתפלגות בוז-איינשטיין הוא: $f_{BE}\left(\varepsilon \right)={\frac {1}{e^{\frac {\varepsilon -\mu }{\tau }}-1}}={\frac {1}{{z^{-1}e}^{\varepsilon /\tau }-1}}$

$U=\int _{0}^{\infty }{g_{s}g\left(\varepsilon \right)\varepsilon f_{BE}\left(\varepsilon \right)}d\varepsilon =\int _{0}^{\infty }{g_{s}{\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\varepsilon ^{2}{\frac {\varepsilon }{{z^{-1}e}^{\varepsilon /\tau }-1}}d\varepsilon }={\frac {g_{s}V\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{{z^{-1}e}^{x}-1}}dx}={\frac {g_{s}V\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(4\right)Li_{4}\left(z\right)={\frac {{3g}_{s}V\tau ^{4}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{4}\left(z\right)$

האנרגיה כתלות בטמפרטורה של גז בוזונים וגז פרמיונים, עבור המקרה של פוטנציאל כימי אפס

כאשר בוצעה החלפת משתנים $x={\frac {\varepsilon }{\tau }}$. באותו אופן ניתן להגיע לביטוי עבור מספר החלקיקים:

$N=\int _{0}^{\infty }{g_{s}g\left(\varepsilon \right)f_{BE}\left(\varepsilon \right)}d\varepsilon =\int _{0}^{\infty }{g_{s}{\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\varepsilon ^{2}{\frac {1}{{z^{-1}e}^{\frac {\varepsilon }{\tau }}-1}}d\varepsilon }=$

$={\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{2}}{{z^{-1}e}^{x}-1}}dx}={\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(3\right)Li_{3}\left(z\right)={\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{3}\left(z\right)$

נשתמש בקשר המקביל עבור בוזונים:

${\frac {pV}{\tau }}=\ln {\mathcal {Q}}=-\sum _{i}\ln {\left({1-ze}^{-\varepsilon _{i}/\tau \ }\right)}$

(${\mathcal {Q}}$ היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)

כדי לקבל את הלחץ:

$p=-{\frac {\tau }{V}}\int _{0}^{\infty }{g_{s}g\left(\varepsilon \right)\ln {\left({1-ze}^{-{\frac {\varepsilon }{\tau }}}\right)}d\varepsilon }=-{\frac {g_{s}\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{x^{2}\ln {\left(1-{ze}^{-x}\right)}dx}={\frac {g_{s}\tau ^{4}}{6\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{{z^{-1}e}^{x}-1}}dx}={\frac {g_{s}\tau ^{4}}{6\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(4\right)Li_{4}\left(z\right)={\frac {g_{s}\tau ^{4}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{4}\left(z\right)$

וכפי שהוסבר לגבי פרמיונים, ממשוואת גיבס דוהם ניתן לקבל:

$\sigma =V\left({\frac {\partial p}{\partial \tau }}\right)_{\mu }={\frac {4g_{s}V\tau ^{3}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{4}\left(z\right)$

חשיבות המודל

התפשטות היקום המוקדם

למודל הגז היחסותי, וספציפית האולטרה-יחסותי, חשיבות בתיאור שלבים מוקדמים בהיווצרות היקום, שכן על פי השערת המדע, ברגעים מוקדמים מסוימים ביקום, החלקיקים שנוצרו היו חלקיקים יחסותיים. בנוסף, בתנאים ששררו אז ניתן להניח $\mu =0$, וכן שהחלקיקים היו בשיווי משקל תרמודינמי אחד עם השני. מנתונים אלו ניתן לקבל:

משתנים תרמודינמיים עבור בוזונים ופרמיונים, $\mu =0$

	בוזונים	פרמיונים
אנרגיה פנימית	$U={\frac {\pi ^{2}}{30}}{\frac {g_{s}V\tau ^{4}}{(\hbar {c)}^{3}}}$	$U={\frac {7\pi ^{2}}{240}}{\frac {g_{s}V\tau ^{4}}{(\hbar {c)}^{3}}}$
מספר חלקיקים	$N={\frac {\zeta \left(3\right)}{\pi ^{2}}}{\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{(\hbar {c)}^{3}}}$	$N={\frac {3\zeta \left(3\right)}{4\pi ^{2}}}{\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{(\hbar {c)}^{3}}}$
לחץ	$p={\frac {\pi ^{2}}{90}}{\frac {g_{s}\tau ^{4}}{(\hbar {c)}^{3}}}$	$p={\frac {7\pi ^{2}}{720}}{\frac {g_{s}\tau ^{4}}{(\hbar {c)}^{3}}}$
אנטרופיה	$\sigma ={\frac {2\pi ^{2}}{45}}{\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{(\hbar {c)}^{3}}}$	$\sigma ={\frac {7\pi ^{2}}{180}}{\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{(\hbar {c)}^{3}}}$

כאשר $\zeta (x)$ היא פונקציית זטא של רימן.

להשערת החוקרים, היקום ביצע התפשטות אדיאבטית (כי התהליך היה הפיך, ולא נכנס חום מכיוון שמתוך הגדרה, אין לחום מאין להיכנס), ובה התקיים $\sigma =const$. כפי שניתן לראות מהחישובים למעלה, בתנאים אלו האנטרופיה פרופורציונית לנפח ולחזקה השלישית של הטמפרטורה, כלומר $V\tau ^{3}=const$. מכאן ניתן לרשום:

$\tau \left(t\right)a\left(t\right)=const$

כאשר $a(t)$ הוא פרמטר ליניארי המתאר את הנפח המתפשט.

יציבות של ננסים לבנים

נושא בו יש חשיבות למודל של גז פרמיונים אולטרה-יחסותי הוא ניתוח הנוגע לננסים לבנים- כוכבים שהגורם המונע את קריסתם הוא לחץ ניוון של אלקטרונים.

לפי הביטוי שנראה קודם, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים מנוונים מתקבל:

$p={\frac {\hbar c}{4}}\left(3\pi ^{2}\right)^{\frac {1}{3}}\ n^{4/3}$

(כאשר $n={\frac {N}{V}}$)

פיתוח דומה עבור אלקטרונים לא יחסותיים מביא לתוצאה:

$p={\frac {\hbar ^{2}}{5m_{e}}}\left(3\pi ^{2}\right)^{\frac {2}{3}}\ n^{5/3}\$

מכיוון ש- $n\approx {\frac {Z\rho }{Am_{p}}}$ (כאשר $Z$ המספר האטומי של האטומים בכוכב, $A$ מספר המסה שלהם, $\rho$ הצפיפות של הננס הלבן ו- $m_{p}$ מסת פרוטון), ניתן להגיע לתלות של הלחץ הפנימי בצפיפות הכוכב, עבור אלקטרונים לא יחסותיים ועבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים:

$p_{non-relativistic}\propto \rho ^{5/3}$

$p_{ultra-relativistic}\propto \rho ^{4/3}$

הלחץ הכבידתי (הלחץ החיצוני) נתון על ידי הביטוי:

$p_{gravitation}=-{\frac {G}{5}}\left({\frac {4\pi }{3}}\right)^{\frac {1}{3}}M^{\frac {2}{3}}\ \rho ^{4/3}$

כלומר, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים, הלחץ החיצוני והפנימי תלויים בצפיפות באותו אופן, וזה מצב שאינו יציב (בניגוד למצב עבור האלקטרונים הלא-יחסותיים, שהוא יציב). עניין זה מרמז על קיומה של מסה מעליה הננס הלבן אינו יציב. טיפול מדויק בנושא מוביל לגבול צ'נדראסקאר - המסה המקסימלית בה ננס לבן יציב.

לקריאה נוספת

• גז פרמי

ביבליוגרפיה

• Pathria, R.K; Beale, Paul D., Statistical Mechanics, Ed. 3 (2011), Elsevier Science & Technology
• Blundell, S.; Blundell, K., Concepts in Thermal Physics (2006), Oxford University Press

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

גז אולטרה-יחסותי29994263