גאומטריה סיסטולית

עקום גאודזי על כדור פוטבול, המדגים את הוכחת "השערת מילוי השטח" של גרומוב במקרה ההיפראליפטי

גאומטריה סיסטולית היא ענף בגאומטריה המודרנית, העוסק ב"היקף הסיסטולי" של יריעות ופאונים, ובהקשרים אריתמטיים, טופולוגיים וארגודיים של מושג זה.

ראשיתה של הגאומטריה הסיסטולית בעבודות של צ'ארלס לוונר (Charles Loewner ‏1893-1968), ובין המתמטיקאים הבולטים שעסקו בה מאז אפשר למנות את מיכאיל גרומוב, מרסל ברגר (שטבע את המונח systole), ואחרים.

ההיקף הסיסטולי

ההיקף הסיסטולי של מרחב מטרי קומפקטי X הוא אינווריאנט מטרי, המוגדר בתור האורך הקצר ביותר של מסילה סגורה לא כוויצה ב-X. אם X הוא גרף, ההיקף הזה נקרא (מאז מאמרו של ויליאם טאט William T. Tutte בנושא, 1947), ה"מותן" של הגרף, והוא שווה לאורך המעגל הקצר ביותר. ההיקף הסיסטולי מודד בכמה "זיכרון" יש להצטייד כדי להוכיח שהמרחב אינו פשוט קשר: כל מסלול סגור שאורכו אינו מגיע להיקף הסיסטולי, מוכרח להיות כוויץ.

אי-שוויונות איזוסיסטוליים

שטחו הכולל של משטח בעל היקף סיסטולי נתון אינו יכול להיות קטן מדי, משום שהמשטח חייב להכיל די חומר כדי לתמוך בלולאה סגורה שלא ניתן לקצרה. ב-1949 הוכיח לוונר שבכל מטריקה על הטורוס, השטח S וההיקף הסיסטולי L מקיימים את אי-השוויון האיזוסיסטולי $\ L^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}S$. יתרה מזו, שוויון מתקבל רק עבור המטריקה השטוחה, היינו זו שבה הטורוס מתקבל מקיפול המישור האוקלידי למרחב מנה בצורה $\ \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \cdot \omega )$, כאשר $\ \omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}$. ההוכחה מסתמכת על משפט ההצגה הקונפורמית.

לאחר מכן, בשנת ב-1952, הוכיח סטודנט של לוונר בשם P.M. Pu אי-שוויון דומה עבור המישור הפרויקטיבי: כאן $\ L^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}S$; ושוויון מתקבל עבור המטריקה הרגילה של המרחב (זו שיש לה עקמומיות גאוס קבועה), ורק עבורה.

בדומה לאי-השוויון האיזופרימטרי, כל משפט המשווה שני אינווריאנטים מטריים שונים, מספק מידע חשוב על המבנים האפשריים של המרחב. העובדה שאי-השוויונות האיזוסיסטוליים הידועים הם חדים (כלומר, הקבוע הנתון בהם אופטימלי), מגדילה את חשיבותם אף יותר.

כדי להוכיח אי-שוויונות כאלה, משווים זהות אינטגרלית הקשורה לשטח, מחד, עם האנרגיה הממוצעת של משפחה של לולאות סגורות, מאידך. לפי אי-שוויון קושי-שוורץ, האנרגיה חוסמת את ריבוע האורך, וכך מתקבל קשר בין השטח לריבוע האורך.

את התוצאה הראשונה עבור משטחים בעלי גנוס כללי השיגו Accola ו-Blatter, שחסמו את ריבוע האורך ככפולה של השטח בקבוע, שערכו שאף לאינסוף כשהגנוס גדל. בראשית שנות השמונים הראו Hebda ו-Burago (בנפרד) שאפשר להסתפק בקבוע שערכו אינו תלוי בגנוס. קשה הרבה יותר להראות שהקבוע יורד לאפס כשהגנוס גדל. תוצאה זו נובעת משיטות חדשות שהציג גרומוב ב-1983. הערך המדויק של קבועים אלה (לכל גנוס) אינו ידוע (פרט לשתי הדוגמאות שניתנו לעיל, ולבקבוק קליין), אבל כן ידוע שהקבוע יורד כמו $\ {\frac {(\log g)^{2}}{g}}$, כאשר g הוא הגנוס.

עבודתו העיקרית של גרומוב בתחום זה היא ההכללה ליריעות מממד גבוה מ-2, והוא הוכיח משפטים איזוסיסטוליים לכל יריעה "עיקרית" (כזו שבה המסילות הלא-כוויצות ממלאות את היריעה בכל הכיוונים), ובפרט למרחבים הפרויקטיביים $\ \mathbb {CP} ^{n}$.

לקריאה נוספת

• M. Berger, A panoramic view of Riemannian Geometry, 2003
• M. Katz, Systolic Geometry and Topology, Amer. Math. Soc. 2007.
• M. Berger, "What is... a Systole?", Notices of the AMS, 55(3), March 2008.

קישורים חיצוניים

• Website for systolic geometry and topology