בעיית היפהפייה הנרדמת

בעיית היפהפייה הנרדמת היא בעיה פילוסופית-מתמטית מתחום תורת ההחלטות העוסקת בתפיסה של הסתברות והתמצאות עצמית. הבעיה מתוארת כניסוי מחשבתי במהלכו מטילים מטבע הוגן ובהתאם לכך מעירים את היפהפייה הנרדמת פעם (כאשר התוצאה היא "עץ") או פעמיים (כאשר התוצאה היא "פלי"), בעוד שזיכרון ההתעוררויות הקודמות נמחק. בכל פעם שהיא מתעוררת, היא נשאלת למידת אמונה בכך שתוצאת ההטלה שהביאה לאותה התעוררות הייתה "עץ" (כלומר, מהי בעיניה ההסתברות לתוצאה זו).

הבעיה התפרסמה לראשונה בשנת 2000 על ידי אדם אלגה,^[1] בהתבססו על מאמר מאת ארנולד זובוב (Arnold Zuboff), שטרם ראה אור באותה עת. מאז פרסומה עוררה הבעיה מחלוקת בין החוקרים, שנחלקו לשתי קבוצות. בעוד שרובם דגלו בתשובה "שליש" כתשובה הטובה ביותר שיכולה היפהפייה הנרדמת לתת, צידדו היתר בתשובה "חצי".

תיאור מלא של הבעיה

ביום ראשון פורשת היפהפייה הנרדמת לישון. לפני הירדמה, מספרים לה מבצעי הניסוי כי יעירו אותה פעם או פעמיים, בהתאם לתוצאת הטלת מטבע הוגן: אם תוצאת ההטלה תהיה "עץ" - אזי תוער היפהפייה ביום שני בלבד. אם "פלי" - היא תוער פעם אחת ביום שני ופעם נוספת ביום שלישי. כמו כן, מודיעים לה כי לאחר כל התעוררות תקבל סם שכחה, שימחק את זיכרון ההתעוררות הקודמת, וירדים אותה שוב. כשהיא מתעוררת נשאלת היפהפייה מהי מידת אמונה בכך שתוצאת הטלת המטבע הייתה "עץ".

כאמור, נחלקים החוקרים לשתי קבוצות: בעוד שרוב^[2] החוקרים סבור כי תשובתה של היפהפייה צריכה להיות "שליש" (מכאן כינויים באנגלית, Thirders), סבורה קבוצת המיעוט כי על תשובתה להיות "חצי" (ומכאן כינויים, Halfers).

גישת ה"שליש"

אם נחזור על הניסוי פעמים רבות, בערך במחצית מההטלות יתקבל "פלי", בעוד שבמחצית השנייה יתקבל "עץ". אם התקבל "פלי" בהטלה מסוימת - נוספות שתי התעוררויות למניין ההתעוררויות שבהן המטבע הורה "פלי". אם התקבל "עץ" - נוספת התעוררות אחת בלבד למניין ההתעוררויות שבהן המטבע הורה "עץ". כלומר, בשליש מן ההתעוררויות המטבע הורה על "עץ". לכן, טוענים הדוגלים בשיטת ה"שליש", מידת אמונה של היפהפייה בכך שהמטבע הורה "עץ" בהתעוררות כלשהי צריכה להיות שליש.^[1]

גישת ה"חצי"

הסיכוי לקבלת תוצאת "עץ" בהטלת מטבע הוגן הוא חצי. מאחר שהיפהפייה יודעת כבר בתחילת הניסוי שיעירו אותה פעם אחת לפחות, ולאור העובדה שהיא איננה מסוגלת לזכור את ההתעוררויות הקודמות (אם היו כאלה), הרי שהיא אינה מקבלת כל ידע חדש במהלך הניסוי. לכן, גורסים הדוגלים בשיטת ה"חצי", על היפהפייה להאמין כי ההסתברות לתוצאת "עץ" היא חצי.^[1]

ניתוח המחלוקת

על פניו נראה כי שתי התשובות הגיוניות. אם כך, מה על היפהפייה לענות? הדיון בין החוקרים מתמקד בעיקר בשאלה האם השיגה היפהפייה מידע חדש מההתעוררות הנוכחית שלה.

נסמן את שלוש ההתעוררויות האפשריות כדלהלן:

ע1 - המטבע הראה "עץ" וזהו יום שני
פ1 - המטבע הראה "פלי" וזהו יום שני
פ2 - המטבע הראה "פלי" וזהו יום שלישי

אם נגדיר, כפי שמציע אלגה,^[1] "היגד ממוקד" (centered proposition) כהיגד המסמן אדם מסוים במרחב או בזמן, הרי ש-פ1 ו-פ2 מהווים שני היגדים ממוקדים שונים. לעומת זאת, שניהם מתארים את אותו עולם לא-ממוקד (uncentered), שבו הורה המטבע "פלי". בכך מסביר אלגה את המקור לשינוי בתשובתה של היפהפייה לשאלה: אם לפני תחילת הניסוי היה עליה להשיב כי היא מאמינה שהסיכוי ל"עץ" הוא חצי, הרי שלאחר ההתעוררות עליה להשיב "שליש". הסיבה לשינוי אינה ידע חדש שקיבלה, אלא מעברה ממצב שבו היא אינה מייחסת למיקומה הנוכחי (בזמן) חשיבות ביחס לשאלת אמיתות ההיגד "המטבע הורה 'עץ'", למצב שבו היא כן מייחסת לכך חשיבות.

במאמר משנת 2001 חלק הפילוסוף דייוויד לואיס^[3] על אלגה, בטענה שהיפהפייה לא קיבלה שום מידע חדש, ממוקד או לא, במהלך הניסוי, שכן היא ידעה מראש שיעירו אותה, והיא עדיין אינה יודעת באיזו התעוררות מדובר.

לב ויידמן וסיימון סונדרס^[4] חיזקו את טיעונו של אלגה בעזרת הצגת וריאציה על הניסוי המקורי: בגרסה שלהם, מבוצע הניסוי בכל שבוע במשך 100 שנים. על מנת להימנע מהמוזרות העולה מטיעונו של אלגה, שלפיו היפהפייה משנה את דעתה על טענה לא-ממוקדת מבלי שהשיגה שום מידע לא-ממוקד חדש, הם הציעו להחליף את השאלה בשאלה ממוקדת: מהי מידת אמונה של היפהפייה בכך שהמטבע הורה "עץ" בשבוע הנוכחי. מאחר שמצבה של היפהפייה זהה בכל השבועות (משום שכל המטבעות הוגנים), אין זה משנה שהיא איננה יודעת באיזה שבוע היא נמצאת. מידת אמונה בתוצאה בגרסה החדשה של הניסוי צריכה להיות זהה לזו של הניסוי המקורי.

בנוסף לכך הציעו ויידמן וסונדרס גרסה בה חוזרים על הניסוי במשך שבועיים בלבד. במקרה זה מידת אמונה של היפהפייה בתוצאה "עץ" (שהוא "Heads", באנגלית, לעומת "פלי" - "Tails") צריכה להיות שווה לסכום הסיכויים לתוצאה "עץ" בהינתן כל אחד מהצירופים האפשריים של שתי הטלות המטבע בשני השבועות (עץ-עץ (HH), פלי-פלי (TT), עץ-פלי (HT), פלי-עץ (TH)), כפול הסיכוי לאותו רצף הטלות (נוסחת ההסתברות השלמה):

P\left(H\right)=P\left(H|HH\right)P\left(HH\right)+P\left(H|TT\right)P\left(TT\right)+P\left(H|HT\right)P\left(HT\right)+P\left(H|TH\right)P\left(TH\right)

אם מתייחסים למספר ההתעוררויות הנובע מכל תוצאה אפשרית של הטלות מטבע, התשובה המתקבלת מחישוב זה היא שליש:

ניתן לראות מיידית כי הסיכוי ל"עץ" בהינתן "עץ-עץ", $P\left(H|HH\right)$ , הוא 1, בעוד שהסיכוי ל"עץ" בהינתן "פלי-פלי", $P\left(H|TT\right)$ , הוא 0.

אם באחד מהשבועות התקבלה התוצאה "עץ" בעוד שבשני "פלי", הרי שישנן שלוש התעוררויות (אחת עבור התוצאה "עץ", ושתיים עבור התוצאה "פלי"). מכאן שהסיכוי ל"עץ" בהינתן "עץ-פלי" או "פלי-עץ" הוא שליש, $P\left(H|HT\right)=P\left(H|TH\right)=1/3$ .

אם ננרמל את הסיכויים שקיבלנו באמצעות חלוקה במספר ההתעוררויות בכל אפשרות, נקבל $P\left(HH\right)=1/6$ , $P\left(TT\right)=1/3$ , ו- $P\left(HT\right)=P\left(TH\right)=1/4$ . מהצבה של כל התוצאות שקיבלנו בנוסחת ההסתברות השלמה הנ"ל, נקבל $P\left(H\right)=1/3$ , כלומר - שהסיכוי ל"עץ" הוא שליש, כמו בגרסה המקורית של הניסוי.

אם, מאידך, משתמשים בהנחתו של לואיס, שלפיה לכל האפשרויות סיכוי זהה:

P\left(HH\right)=P\left(TT\right)=P\left(HT\right)=P\left(TH\right)={\frac {1}{4}}

התוצאה המתקבלת עבור הניסוי בן השבועיים היא $P\left(H\right)=2/5$ , בניגוד לתוצאה ("חצי") שהייתה מתקבלת מאותה הנחה בניסוי בן השבוע. אם נניח כי מידת אמונה של היפהפייה צריכה להיות זהה בשני המקרים, טוענים ויידמן וסונדרס, הרי שיש בכך כדי להפריך את טענתו של לואיס.

יפהפייה נרדמת קוונטית

מאוחר יותר ב-2001 הצביע ויידמן^[5] על כך שהבעיה ניתנת לפתרון במסגרת פירוש העולמות המרובים של מכניקת הקוונטים. מאז התגלתה מחלוקת נוספת באשר לפרשנות הניתנת לבעיה בפירוש העולמות המרובים.

פירוש העולמות המרובים

ערך מורחב – פירוש העולמות המרובים

בניסיון לפתור את בעיית המדידה העולה ממכניקת הקוונטים, לפיה לא ברור מה קורה לפונקציית הגל כאשר מתבצעת מדידה, הוצעו מספר פרשנויות לתורת הקוונטים לאורך השנים. הפרשנות הפופולרית ביותר כיום היא זו המכונה פרשנות קופנהגן, שנוסדה על ידי נילס בוהר. לפי פרשנות קופנהגן, קיימת אי-ודאות אמיתית באשר לתוצאת ניסוי קוונטי עתידי. כך, אם לניסוי מסוים מספר תוצאות אפשריות, לפני ביצוע הניסוי אנו יכולים להעריך את הסיכוי לקבלת כל אחת מהן, ואין לנו כל דרך לחזות בצורה מדויקת את התוצאה מראש. בעת המדידה מתרחשת קריסה, המותירה רק אחת מהתוצאות האפשרויות. היקום המתואר על ידי פרשנות קופנהגן הוא לא-דטרמיניסטי ולא-לוקלי. שני מאפיינים אלה נחשבים בעיני חלק מהפיזיקאים, ביניהם אלברט איינשטיין, כחסרון משמעותי לכל תאוריה פיזיקלית.

אחת מהפרשנויות המתחרות בפרשנות קופנהגן היא פירוש העולמות המרובים, שהוצע לראשונה על ידי יו אוורט בשנת 1957. לפי פרשנות זו לא קיימת קריסה: כל התוצאות האפשריות מתגשמות, והעולם מתפצל למספר עולמות אפשריים (כמספר התוצאות האפשריות). בצורה זאת התאוריה נותרת דטרמיניסטית ולוקלית.

הסתברות בפירוש העולמות המרובים

לכאורה, מאחר שפירוש העולמות המרובים הוא דטרמיניסטי אין במסגרתו משמעות למושג הסתברות. ואכן, אין הסתברות אמיתית בפירוש העולמות המרובים.^[6] כך לדוגמה, אם נבצע ניסוי במסגרתו נשלח את הצופה לאחד משני חדרים זהים, א' או ב', על סמך תוצאת הטלת מטבע, יהיה זה חסר משמעות לשאול אותו לפני הניסוי מהי ההסתברות לכך שהוא ימצא עצמו בחדר א'. זאת משום שהצופה שלפני הטלת המטבע הוא "אביהם הקדמון" של שני הצופים שיתקיימו לאחר ההטלה (אחד בכל חדר אפשרי), כך שההסתברות לכל אחת מהאפשרויות היא 1.

ובכל זאת, ניתן לדבר על אשליה של הסתברות, כפי שמתאר ויידמן^[7]: נניח כי ניתן לצופה גלולת שינה לפני הטלת המטבע, ונעיר אותו רק לאחר העברתו לחדר המתאים. בצורה זו נוכל לשאול כל אחד מה"צאצאים" (הצופים שיתקיימו לאחר הטלת המטבע), לפני שנגלה להם מה הייתה תוצאת הניסוי, באיזה מבין החדרים הם סבורים כי הם נמצאים. אשליית ההסתברות מושגת באמצעות זכרונותיו של הצופה בעולם מסוים, הכוללים זכרונות מעולם אחד בלבד מכל התפצלות קודמת. כך שלמעשה צופה בפירוש העולמות המרובים וצופה זהה בפרשנות הכוללת קריסה (כמו פרשנות קופנהגן) יחלקו את אותם הזכרונות. בפירוש העולמות המרובים, לכל עולם אפשרי מוגדרת מידת קיום (measure of existance) המקבילה לסיכוי לקבלת אותה תוצאה בפירוש ההסתברותי (הוא פרשנות קופנהגן).

ניתוח בעיית היפהפייה הנרדמת בפירוש העולמות המרובים

מושג ה"אשליה של הסתברות", בייחוד כפי שהוא בא לידי ביטוי בניסוי "גלולת השינה" המתואר לעיל, מזכיר באופיו את בעיית היפהפייה הנרדמת. לפי ויידמן^[5] אין משמעות ישירה להסתברות לפני הניסוי, משום שכל המידע (ממוקד או לא) נמצא בידי היפהפייה לפני ביצוע המדידה. ה"צאצאיות" שלה, לעומת זאת, בורות באשר לתוצאת הניסוי, ולכן מחזיקות באמונות זהות לגביה.

למרות זאת, בשונה מניסוי "גלולת השינה" בבעיית היפהפייה הנרדמת היפהפייה אינה מודעת לא רק לתוצאת המטבע, אלא גם ליום בשבוע. השאלה שעלינו לשאול במסגרת פירוש העולמות המרובים היא "מהי מידת אמונה של היפהפייה בתוצאה 'עץ' בעולם שבו היא נשאלת?". לטענת ויידמן, מאחר שמידת הקיום של כל שלושת העולמות האפשריים (ע1, פ1, פ2) זהה, ורק אחד מהם מתאים לתוצאה "עץ", עליה לענות "שליש".^[5]^[7]

לעומתו מאמין פיטר לואיס^[8]^[9] שלפי פירוש העולמות המרובים התשובה לשאלה היא "חצי". על מנת להסביר זאת משתמש לואיס תחילה בגרסה פשטנית יותר של הניסוי, בה לא מטילים מטבע כלל, אלא מודיעים ליפהפייה כי יעירו אותה גם ביום שני וגם ביום שלישי, אך שהיא לא תזכור את ההתעוררות הראשונה. כאשר מעירים אותה היא נשאלת מהי מידת אמונה בכך שהיום הוא יום שני. לואיס מצביע על הדמיון בין גרסה זו של הניסוי לבין מצב הדומה לניסוי "גלולת השינה" הנ"ל בפירוש העולמות המרובים. בשני המקרים על הצופה להאמין במידה שווה בשתי התוצאות האפשריות (כלומר - "חצי").

לואיס טוען כי קביעת הסתברות השווה ל-1 לכל אחת מהתוצאות האפשרויות לפני פיצול העולמות אינה לגיטימית, משום שהיא סותרת את חוק בורן, המגדיר את הסיכוי לקבלת תוצאה מסוימת בניסוי קוונטי. מכאן מסיק לואיס כי ההסתברות טרם הפיצול שווה לחצי בשני המקרים (היפהפייה הנרדמת ו"גלולת השינה"). מעבר לכך, הוא גורס כי ניתן לתאר את הגרסה המלאה של בעיית היפהפייה הנרדמת בעזרת הגרסה הפשטנית: מטילים מטבע. אם תוצאת ההטלה היא "עץ", מעירים את היפהפייה ביום שני בלבד, ואם "פלי" - הגרסה הפשטנית של הניסוי נכנסת לפעולה. כתוצאה מכך, לטענת לואיס, ניתן לראות בבעיה שתי הטלות מטבע: אם בהטלה הראשונה הורה המטבע "עץ", היפהפייה תתעורר ביום שני בלבד. אם הורה "פלי", מטילים מטבע נוסף. אם הוא הורה "עץ", מעירים אותה ביום שני בלבד, ואם "פלי" - רק ביום שלישי. כך שגם במקרה של הבעיה המלאה התוצאה היא "חצי", כפי שמאמין לואיס.

דייוויד פפינו וויקטור דורה-וילה^[2] תוקפים את טענתו של לואיס לפיה הבעיה המלאה מקבילה לשתי הטלות מטבע. לדעתם בגרסה המלאה המקורית, כאשר היפהפייה מתעוררת פעם אחת בלבד, היא אינה יכולה להתייחס להתעוררותה כאל עדות כלשהי לתוצאת הטלת המטבע. מעבר לכך, הם טוענים כי האנלוגיה שיצר לואיס בין הגרסה הפשטנית של הבעיה לבין ניסוי "גלולת השינה", עליה הוא ביסס את טיעוניו, איננה נכונה: בעוד שבניסוי "גלולת השינה" מתקיימים שני עולמות אחרי המדידה, הרי שקיים רק עולם אחד (בו מעירים את היפהפייה פעמיים) בגרסה הפשטנית לבעיית היפהפייה הנרדמת. לכן ההסתברות לכך שהיפהפייה תתעורר ביום שני (וביום שלישי) תמשיך להיות 1.

בתגובה לפפינו ודורה-וילה ענה לואיס^[10] לשאלת הפיצול בכך שטען כי מאחר שהצופה (מניסוי "גלולת השינה" או היפהפייה הנרדמת) אינו מודע לתוצאה, שני המקרים "זהים אפיסטמית" (כלומר, בשניהם הצופה נמצא במצב תודעתי דומה). מעבר לכך טען לואיס כי אין פיצול אמיתי של המציאות גם במקרה של פירוש העולמות המרובים, אלא רק בורות של הצופה באשר למיקומו. בנוסף הבהיר לואיס כי בתארו את הבעיה כשתי הטלות מטבע הוא לא תיאר את מהלך האירועים האמיתי, אלא את הבסיס לניחוש של היפהפייה.

כתשובה לתגובתו של לואיס תקפו פפינו ודורה-וילה^[11] את טענתו כי אין פיצול בפירוש העולמות המרובים: מבחינת חסידי פירוש העולמות המרובים אכן קיים יקום אחד, המכיל את כל האפשרויות, אך תגובת המערכת עם הסביבה לאחר המדידה הקוונטית יוצרת "עולמות" מובחנים עבור כל תוצאה (עם עותק של הצופה בכל אחד מהם), המתנהגים בצורה "כמו-קלאסית". כמו כן, המשיכו פפינו ודורה-וילה, טענתו של לואיס לפיה גם במקרה שקיימים הבדלים מטאפיזיים בין המצבים הם מקבילים אפיסטמית, סותרת את העיקרון העיקרי (Principal Principle), שטבע דייוויד לואיס, לפיו מידת האמון בתוצאה מסוימת צריכה להתאים להסתברות האובייקטיבית שלה.

הוויכוח באשר לפתרון בעיית היפהפייה הנרדמת, הן בניסוחה הרגיל והן במסגרת פירוש העולמות המרובים, עדיין ניטש.

ראו גם

קישורים חיצוניים

The Most Controversial Problem in Philosophy, סרטון בערוץ "Veritasium", באתר יוטיוב (אורך: 10:19), 11 בפברואר 2023

הערות שוליים

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Adam Elga, "Self-locating belief and the sleeping beauty problem", Analysis, 60(266):143–147, 2000. [1]
^ ^2.0 ^2.1 David Papineau and Víctor Durà-Vilà, "A thirder and an Everettian: a reply to Lewis's 'quantum sleeping beauty'", Analysis, 69(1):78–86, 2009. [2]
^ David Lewis, "Sleeping beauty: reply to Elga", Analysis, 61(271):171–76, 2001.
^ Lev Vaidman and Simon Saunders, "On sleeping beauty controversy", July 2001. [3]
^ ^5.0 ^5.1 ^5.2 Lev Vaidman, "Sleeping beauty in quantumland", Quantum Theory: Reconsidereation of Foundations, pp. 408-412, 2001. [4]
^ Lev Vaidman, "On schizophrenic experiences of the neutron or why we should believe in the many-worlds interpretation of quantum theory", International Studies in the Philosophy of Science, 12: 3, pp. 245—261, 1998. [5]
^ ^7.0 ^7.1 Lev Vaidman, "Probability in the many worlds interpretation of quantum mechanics", 2011. [6]
^ Peter J. Lewis, "Quantum sleeping beauty", Analysis, 67(293):59–65, 2007. [7]
^ יש לשים לב כי אין מדובר בדייוויד לואיס, שהוזכר קודם לכן.
^ Peter J. Lewis, "Reply to Papineau and Durà-Vilà", Analysis, 69(1):86–89, 2009. [8]
^ David Papineau and Víctor Durà-Vilà, "Reply to Lewis: metaphysics versus epistemology", Analysis, 69(1):89–91, 2009. [9]

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

38004087בעיית היפהפייה הנרדמת

[אלגה-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Adam Elga, "Self-locating belief and the sleeping beauty problem", Analysis, 60(266):143–147, 2000. [1]

[פפינו_ודורה-וילה_2009_(1)-2] 2.0 ^2.1 David Papineau and Víctor Durà-Vilà, "A thirder and an Everettian: a reply to Lewis's 'quantum sleeping beauty'", Analysis, 69(1):78–86, 2009. [2]

[דייוויד_לואיס-3] David Lewis, "Sleeping beauty: reply to Elga", Analysis, 61(271):171–76, 2001.

[ויידמן_וסונדרס-4] Lev Vaidman and Simon Saunders, "On sleeping beauty controversy", July 2001. [3]

[ויידמן_2001-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 Lev Vaidman, "Sleeping beauty in quantumland", Quantum Theory: Reconsidereation of Foundations, pp. 408-412, 2001. [4]

[ויידמן_1998-6] Lev Vaidman, "On schizophrenic experiences of the neutron or why we should believe in the many-worlds interpretation of quantum theory", International Studies in the Philosophy of Science, 12: 3, pp. 245—261, 1998. [5]

[ויידמן_2011-7] 7.0 ^7.1 Lev Vaidman, "Probability in the many worlds interpretation of quantum mechanics", 2011. [6]

[פיטר_לואיס_2007-8] Peter J. Lewis, "Quantum sleeping beauty", Analysis, 67(293):59–65, 2007. [7]

[9] יש לשים לב כי אין מדובר בדייוויד לואיס, שהוזכר קודם לכן.

[פיטר_לואיס_2009-10] Peter J. Lewis, "Reply to Papineau and Durà-Vilà", Analysis, 69(1):86–89, 2009. [8]

[פפינו_ודורה-וילה_2009_(2)-11] David Papineau and Víctor Durà-Vilà, "Reply to Lewis: metaphysics versus epistemology", Analysis, 69(1):89–91, 2009. [9]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

בעיית היפהפייה הנרדמת

תוכן עניינים

תיאור מלא של הבעיה

גישת ה"שליש"

גישת ה"חצי"

ניתוח המחלוקת

יפהפייה נרדמת קוונטית

פירוש העולמות המרובים

הסתברות בפירוש העולמות המרובים

ניתוח בעיית היפהפייה הנרדמת בפירוש העולמות המרובים

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

בעיית היפהפייה הנרדמת

תיאור מלא של הבעיה

גישת ה"שליש"

גישת ה"חצי"

ניתוח המחלוקת

יפהפייה נרדמת קוונטית

פירוש העולמות המרובים

הסתברות בפירוש העולמות המרובים

ניתוח בעיית היפהפייה הנרדמת בפירוש העולמות המרובים

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

חיפוש